Trayectoria

• Trayectoria: lugar geométrico de las posiciones ocupadas por la partícula. Se puede describir de muchas maneras:

  • Ecuación vectorial: $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$.

  • Ecuaciones paramétricas en coordenadas cartesianas:

    $$ \overrightarrow{r}=x\mathrm{(}t\mathrm{)}\hat{i}+y\mathrm{(}t\mathrm{)}\hat{j}+z\mathrm{(}t\mathrm{)}\hat{k}\Rightarrow \boxed{ \begin{array}{l}

    x=x\mathrm{(}t\mathrm{)} \\

    y=y\mathrm{(}t\mathrm{)} \\

    z=z\mathrm{(}t\mathrm{)} \end{array}} $$

    <aside> 💡

    Las ecuaciones paramétricas se pueden dar en otros sistemas de coordenadas (polares, cilíndricas, esféricas, etc).

    </aside>

  • Ecuaciones implícitas:  se obtienen eliminando el tiempo en las ecuaciones paramétricas.

Posición escalar

• Cuando se conoce la trayectoria, el movimiento se puede estudiar eligiendo uno de sus puntos como origen (O) y un sentido como positivo (criterio de signos):

Figura 1.4.

• La magnitud s es la longitud de curva desde el punto origen y se llama posición escalar.
• La ecuación s = s(t) se denomina ecuación escalar del movimiento.

Desplazamiento y espacio recorrido

• Desplazamiento, $\boldsymbol{\mathrm{\Delta }}\overrightarrow{\boldsymbol{r}}$, es la variación del vector posición entre dos instantes:

  $$ \mathrm{\Delta}\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}} $$

• Desplazamiento escalar, $\boldsymbol{\mathrm{\Delta }}\boldsymbol{s}$, es la variación de la posición escalar entre dos instantes. Su valor absoluto coincide con el módulo del desplazamiento si el movimiento es rectilíneo:

  $$ \mathrm{\Delta}s=s_{\mathrm{2}}-s_{\mathrm{1}} $$

  <aside> 💡

  ¡$\mathrm{\Delta}s$ tiene signo!

  </aside>

Figura 1.5.

• Espacio recorrido, ${\boldsymbol{e}}^{{\boldsymbol{t}}{\boldsymbol{2}}}{{\boldsymbol{t}}_{\boldsymbol{1}}}$, es la longitud total recorrida por la partícula. Es una magnitud positiva. Si hay cambios de sentido, hay que sumar las longitudes de todos los tramos recorridos.

Variaciones infinitesimales

• La precisión con la que se pueden determinar intervalos de tiempo y distancias es limitada. Siempre hay una incertidumbre experimental. Aunque, para poder extraer conclusiones de cualquier experimento, esta precisión debe ser suficientemente elevada en relación con la escala de tiempos y distancias del problema.

• Supongamos que dt es un tiempo muy pequeño (pero no nulo) en comparación con la escala de tiempos del experimento. Se dice entonces que dt es un intervalo físicamente infinitesimal.

• Cuando los cambios que ocurren en una magnitud física X durante ese intervalo son también muy pequeñas (como máximo del orden de la incertidumbre de la medida de X), se representan por dX y se denominan variaciones infinitesimales. Para cualquier aplicación práctica, el cociente entre las variaciones infinitesimales de dos magnitudes X e Y se puede calcular como una derivada:

  $$

  \frac{dX}{dY}\approx \mathop{\mathrm{lim}}_{\mathrm{\Delta }Y\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }X}{\mathrm{\Delta }Y}=\mathrm{derivada\ de\ }X\mathrm{\ respecto\ a\ }Y $$

Desplazamiento infinitesimal

• Cuando $\mathrm{\Delta }t\to 0$, el vector $\boldsymbol{\mathrm{\Delta }}\overrightarrow{\boldsymbol{r}}$ se vuelve indistinguible del arco de curva de longitud $\boldsymbol{\mathrm{\Delta }}\boldsymbol{s}$. Por tanto, para variaciones infinitesimales:

  $$

  \left|d\overrightarrow{r}\right|=\left|ds\right| $$