Las aceleraciones media e instantánea siempre están dirigidas hacia el lado interior de la trayectoria curva.
Figura 1.9.
Figura 1.10.
- De tal forma que la aceleración instantánea se descompone en la suma de una componente tangencial a la trayectoria y otra normal a ella:
Figura 1.11.
Las aceleraciones tangencial y normal reciben el nombre de componentes intrínsecas de la aceleración.
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Primera forma de calcular las componentes intrínsecas: proyectando vectores:
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Para calcular la tangencial, proyectamos sobre el vector unitario tangente ${\widehat{\boldsymbol{u}}}_{\boldsymbol{\mathrm{t}}}$:
$$ {\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}=\mathrm{(proyecci\textrm{\'{o}}n\ de\ }\overrightarrow{a}\mathrm{\ sobre\ }{\hat{u}}{\mathrm{t}}\mathrm{)\ }{\hat{u}}{\mathrm{t}}=\mathrm{(}\overrightarrow{a}\cdot {\hat{u}}{\mathrm{t}}\mathrm{)\ }{\hat{u}}_{\mathrm{t}}=\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}}{v^{\mathrm{2}}}\right)\overrightarrow{v} $$
<aside> 💡
Tiene la misma dirección que la velocidad, pero su sentido puede ser el mismo o el contrario en función del signo de $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{·}\overrightarrow{\boldsymbol{v}}$, esto es, del ángulo que formen $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ y $\overrightarrow{\boldsymbol{v}}$.
</aside>
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Para calcular la normal, restamos la tangencial de la total:
$$ {\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}=\overrightarrow{a}-{\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}} $$
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Además, aplicando el Teorema de Pitágoras:
$$ a^{\mathrm{2}}=a^{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}+a^{\mathrm{2}}{\mathrm{n}} $$
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Segunda forma de calcular las componentes intrínsecas: derivando $\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\boldsymbol{=}\boldsymbol{v}{\widehat{\boldsymbol{u}}}_{\boldsymbol{\mathrm{t}}}$
$$ \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\mathrm{(}v{\hat{u}}{\mathrm{t}}\mathrm{)}=\frac{dv}{dt}{\hat{u}}{\mathrm{t}}+v\frac{d{\hat{u}}_{\mathrm{t}}}{dt} $$
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Primer término: es tangente a la trayectoria.
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Segundo término: es perpendicular a la trayectoria. Esto se demuestra derivando respecto al tiempo el módulo al cuadrado de ${\widehat{\boldsymbol{u}}}_{\boldsymbol{\mathrm{t}}}$, que es constante e igual a 1 por ser un vector unitario:
$$ {\hat{u}}{\mathrm{t}}\cdot {\hat{u}}{\mathrm{t}}=\mathrm{1\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ }\frac{d}{dt}\mathrm{(}{\hat{u}}{\mathrm{t}}\cdot {\hat{u}}{\mathrm{t}}\mathrm{)}=\frac{d}{dt}\mathrm{(1)}=\mathrm{0\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ 2}{\hat{u}}{\mathrm{t}}\cdot \frac{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}{dt}=\mathrm{0\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ }\boxed{\frac{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}{dt}\bot {\hat{u}}{\mathrm{t}}} $$
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Por tanto, podemos identificar el primer término con la aceleración tangencial y el segundo término con la aceleración normal.
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El segundo término se puede expresar de un modo más útil utilizando el concepto de circunferencia osculatriz, que definimos a continuación.
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Teorema de la circunferencia osculatriz (lo enunciamos sin demostrar):
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Sea $\overrightarrow{r}(t)$ una trayectoria en el espacio, y sea P uno de sus puntos en el que ${\boldsymbol{d}\widehat{\boldsymbol{u}}}_{\boldsymbol{\mathrm{t}}}\boldsymbol{/}\boldsymbol{dt}\boldsymbol{\neq }\overrightarrow{\boldsymbol{0}}$. Existe una única circunferencia, denominada circunferencia osculatriz de la curva en el punto P, que es la circunferencia que mejor aproxima la curva en el entorno de P, en el sentido de que los desarrollos en serie de Taylor de las ecuaciones vectoriales de la curva y de la circunferencia en dicho punto coinciden hasta el segundo orden.
Figura 1.12.
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Entonces se cumple que:
$$ \rho =\frac{v}{\left|{d{\hat{u}}_{\mathrm{t}}}/{dt}\right|} $$
$$ {\hat{u}}{\mathrm{n}}=\frac{{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}/{dt}}{\left|{d{\hat{u}}_{\mathrm{t}}}/{dt}\right|} $$
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De las dos expresiones anteriores se obtiene que:
$$ \frac{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}{dt}=\left|\frac{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}{dt}\right|{\hat{u}}{\mathrm{n}}=\frac{v}{\rho }{\hat{u}}{\mathrm{n}} $$
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Propiedades de la circunferencia osculatriz en cualquier punto $\overrightarrow{\boldsymbol{r}}$ de la curva:
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Es tangente a la curva en dicho punto por su lado interior.
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Su radio $\rho$ viene dado por:
$$ \rho =\frac{v}{\left|{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}/{dt}\right|}\mathrm{\ \ \ \ ,\ \ \ \ donde\ \ \ \ }v=\left|\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\right|\mathrm{\ \ \ y\ \ \ }{\hat{u}}{\mathrm{t}}=\frac{{d\overrightarrow{r}}/{dt}}{\left|{d\overrightarrow{r}}/{dt}\right|} $$
<aside> 💡
A $\rho$ se le llama radio de curvatura de la curva en ese punto.
</aside>
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Su centro C es el punto cuya posición es:
$$ {\overrightarrow{r}}C=\overrightarrow{r}+\rho {\hat{u}}{\mathrm{n}}\mathrm{\ \ \ \ ,\ \ \ \ donde\ \ \ \ }{\hat{u}}{\mathrm{n}}=\frac{{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}/{dt}}{\left|{d{\hat{u}}_{\mathrm{t}}}/{dt}\right|}\mathrm{\ es\ normal\ a\ la\ curva\ y\ hacia\ su\ lado\ interior} $$
<aside> 💡
A C se le llama centro de curvatura de la curva en ese punto. La dirección de ${\hat{u}}_{\mathrm{n}}$ se llama normal principal a la curva en ese punto.
</aside>
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Se encuentra en el plano determinado por ${\hat{u}}{\mathrm{t}}$ y ${\hat{u}}{\mathrm{n}}$, al que se llama plano osculador de la curva en ese punto.
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Por lo tanto, las componentes intrínsecas de la aceleración quedan como:
$$ {\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}=\mathrm{(}\overrightarrow{a}\cdot {\hat{u}}{\mathrm{t}}\mathrm{)\ }{\hat{u}}{\mathrm{t}}=\frac{dv}{dt}{\hat{u}}{\mathrm{t}} $$
<aside> 💡
Indica cambio del módulo de la velocidad.
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Módulo:
$$ \left|{\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}\right|=\left|\frac{dv}{dt}\right|=\left|\frac{d\left|v{\mathrm{s}}\right|}{dt}\right|=\left|a_{\mathrm{s}}\right| $$
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Dirección: tangente a la trayectoria.
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Sentido: el del movimiento si v aumenta, y el contrario si disminuye.
$$ \mathrm{\ }{\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}=v\frac{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}{dt}=\frac{v^{\mathrm{2}}}{\rho }{\hat{u}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\ } $$
<aside> 💡
Indica cambio de la dirección de la velocidad.
</aside>
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Módulo:
$$ \left|{\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}\right|=v\left|\frac{d{\hat{u}}{\mathrm{t}}}{dt}\right|=\frac{v^{\mathrm{2}}}{\rho } $$
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Dirección: normal a la trayectoria.
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Sentido: hacia el centro de curvatura.