• En movimiento circular no se puede prescindir del carácter vectorial para una descripción completa del movimiento, porque la aceleración normal es diferente de cero.
• Pero se puede hacer una descripción escalar si solo nos interesa la posición del móvil sobre una trayectoria circular conocida.
• Es bastante conveniente hacer una descripción escalar en términos de ángulos, en lugar de usar directamente la posición escalar del móvil sobre la trayectoria. Para ello, se tiene en cuenta que el desplazamiento lineal escalar ($\mathrm{\Delta}s$) es igual a la variación del ángulo subtendido desde el centro de la circunferencia ($\mathrm{\Delta}\theta$), siempre expresado en radianes, por su radio (R):

Figura 1.13.

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A $\mathrm{\Delta }\theta =\frac{\mathrm{\Delta }s}{R}$ se le denomina entonces desplazamiento angular escalar. Tiene signo.

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• Si se toma el mismo punto como origen de posiciones escalares (𝑠) y de posiciones angulares (𝜃) y se escoge un sentido positivo de movimiento, se pueden definir:

  

  Figura 1.14.

• Posición angular escalar:

  $$ \theta \mathrm{:}=\frac{s}{R} $$

• Velocidad angular escalar:

  $$ \omega \mathrm{:}=\frac{d\theta }{dt}=\frac{v_{\mathrm{s}}}{R} $$

• Aceleración angular escalar:

  $$ \alpha \mathrm{:}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{a_{\mathrm{s}}}{R} $$

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  ¡Todas las magnitudes anteriores tienen signo!

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• Para hacer una descripción vectorial del movimiento, consideremos una trayectoria circular en reposo respecto a un origen de coordenadas O. Tomemos como base en el plano de la circunferencia el conjunto {u ̂_1,u ̂_2 } indicado en la figura, coincidiendo la dirección y sentido de u ̂_1 con la semirrecta que es origen de ángulos.

Figura 1.15.

• Entonces:

  $$ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}\mathrm{,\ \ \ \ donde\ }\overrightarrow{OC}=\mathrm{constante} $$

  $$ \overrightarrow{CP}=R\left(\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}+\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{2}}\right) $$

  $$ \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{CP}\right)=\omega R\left(-\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}+\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{2}}\right) $$

  $$ \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}={\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}+{\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}\mathrm{\ \ \ ,\ \ \ }\left\{ \begin{array}{l}

  {\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}=\alpha R\left(-\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}+\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}_{\mathrm{2}}\right) \\

  {\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}={\omega }^{\mathrm{2}}R\left(-\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}-\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}_{\mathrm{2}}\right) \end{array}

  \right. $$

  • De donde se obtiene que:

  $$ \left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\omega \right|R $$

  $$ \left|{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{t}}\right|=\left|\alpha \right|R $$

  $$ \left|{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{n}}\right|={\omega }^{\mathrm{2}}R $$

• Las magnitudes angulares son proporcionales a las lineales, de modo que las ecuaciones de los movimientos uniforme y uniformemente variado son las mismas, pero reemplazando las magnitudes lineales por las angulares.

• Movimiento circular uniforme:

  $$ v_{\mathrm{s}}=\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\omega =\mathrm{cte} $$

  $$ \frac{d\theta }{dt}=\omega =\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\theta ={\theta }_0+\omega t} $$

• Movimiento circular uniformemente variado:

  $$ a_{\mathrm{s}}=\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\alpha =\mathrm{cte} $$

  $$ \frac{d\omega }{dt}=\alpha =\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\omega ={\omega }_0+\alpha t} $$

  $$ \frac{d\theta }{dt}=\omega ={\omega }_0+\alpha t\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\theta ={\theta }_0+{\omega }_0t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha t^{\mathrm{2}}} $$

• Despejando t en $\omega$ y sustituyendo en $\theta$:

  $$ {\omega }^{\mathrm{2}}-{\omega }^{\mathrm{2}}_0=\mathrm{2}\alpha \mathrm{(}\theta -{\theta }_0\mathrm{)} $$