Figura 1.13.
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A $\mathrm{\Delta }\theta =\frac{\mathrm{\Delta }s}{R}$ se le denomina entonces desplazamiento angular escalar. Tiene signo.
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Si se toma el mismo punto como origen de posiciones escalares (𝑠) y de posiciones angulares (𝜃) y se escoge un sentido positivo de movimiento, se pueden definir:
Figura 1.14.
Posición angular escalar:
$$ \theta \mathrm{:}=\frac{s}{R} $$
Velocidad angular escalar:
$$ \omega \mathrm{:}=\frac{d\theta }{dt}=\frac{v_{\mathrm{s}}}{R} $$
Aceleración angular escalar:
$$ \alpha \mathrm{:}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{a_{\mathrm{s}}}{R} $$
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¡Todas las magnitudes anteriores tienen signo!
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Para hacer una descripción vectorial del movimiento, consideremos una trayectoria circular en reposo respecto a un origen de coordenadas O. Tomemos como base en el plano de la circunferencia el conjunto {u ̂_1,u ̂_2 } indicado en la figura, coincidiendo la dirección y sentido de u ̂_1 con la semirrecta que es origen de ángulos.
Figura 1.15.
Entonces:
$$ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}\mathrm{,\ \ \ \ donde\ }\overrightarrow{OC}=\mathrm{constante} $$
$$ \overrightarrow{CP}=R\left(\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}+\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{2}}\right) $$
$$ \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{CP}\right)=\omega R\left(-\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}+\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{2}}\right) $$
$$ \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}={\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}+{\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}\mathrm{\ \ \ ,\ \ \ }\left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow{a}}{\mathrm{t}}=\alpha R\left(-\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}+\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}_{\mathrm{2}}\right) \\
{\overrightarrow{a}}{\mathrm{n}}={\omega }^{\mathrm{2}}R\left(-\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}{\mathrm{1}}-\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }{\hat{u}}_{\mathrm{2}}\right) \end{array}
\right. $$
$$ \left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\omega \right|R $$
$$ \left|{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{t}}\right|=\left|\alpha \right|R $$
$$ \left|{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{n}}\right|={\omega }^{\mathrm{2}}R $$
Las magnitudes angulares son proporcionales a las lineales, de modo que las ecuaciones de los movimientos uniforme y uniformemente variado son las mismas, pero reemplazando las magnitudes lineales por las angulares.
Movimiento circular uniforme:
$$ v_{\mathrm{s}}=\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\omega =\mathrm{cte} $$
$$ \frac{d\theta }{dt}=\omega =\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\theta ={\theta }_0+\omega t} $$
Movimiento circular uniformemente variado:
$$ a_{\mathrm{s}}=\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\alpha =\mathrm{cte} $$
$$ \frac{d\omega }{dt}=\alpha =\mathrm{cte\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\omega ={\omega }_0+\alpha t} $$
$$ \frac{d\theta }{dt}=\omega ={\omega }_0+\alpha t\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\theta ={\theta }_0+{\omega }_0t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha t^{\mathrm{2}}} $$
Despejando t en $\omega$ y sustituyendo en $\theta$:
$$ {\omega }^{\mathrm{2}}-{\omega }^{\mathrm{2}}_0=\mathrm{2}\alpha \mathrm{(}\theta -{\theta }_0\mathrm{)} $$
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Repasa con JoVE:
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Repasa con JoVE:
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