• Despreciando el rozamiento con el aire, los cuerpos que son lanzados o dejados caer libremente cerca de la superficie terrestre se ven sometidos a una aceleración constante, denominada gravedad $\overrightarrow{\boldsymbol{g}}$, dirigida siempre hacia la superficie terrestre y de módulo aproximado:

  $$ \boxed{g\approx \mathrm{9,8\ m/}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}} $$

• Supongamos que el móvil parte de un punto ${\overrightarrow{r}}_0$ con una velocidad inicial ${\overrightarrow{v}}_0$, sometido a una aceleración $\overrightarrow{a}\mathrm{=}\overrightarrow{g}$ constante. Entonces:

  $$ \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{g}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{g}t} $$

  $$ \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}t\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+{\overrightarrow{v}}_0t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\overrightarrow{g}t^{\mathrm{2}}} $$

• Para analizar el movimiento resultante, escojamos el sistema de referencia de forma que la gravedad sea vertical y hacia abajo.

  

  Figura 1.16.

  Entonces:

  $$ \overrightarrow{g}=-g\hat{j} $$

  $$ g=+\mathrm{9.8\ m/}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\ \ \ (módulo)} $$

  $$ {\overrightarrow{r}}_0=x_0\hat{i}+y_0\hat{j} $$

  $$ {\overrightarrow{v}}0=v{0x}\hat{i}+v_{0y}\hat{j}=v_0\mathrm{cos}\theta \hat{i}+v_0\mathrm{sen}\theta \hat{j} $$

  De aquí se obtiene que:

  $$ \overrightarrow{v}=v_0\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }\hat{i}+\mathrm{(}v_0\mathrm{sen}\theta -gt\mathrm{)}\hat{j} $$

  $$ \overrightarrow{r}=\mathrm{(}x_0+v_0\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }t\mathrm{)}\hat{i}+\left(y_0+v_0\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }t-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}gt^{\mathrm{2}}\right)\hat{j} $$

  <aside> 💡

  Superposición de:

  • Movimiento uniforme (eje X).
  • Movimiento uniformemente variado (eje Y). </aside>

• Ecuaciones paramétricas de la trayectoria:

  $$ x=x_0+v_0\mathrm{cos}\theta \mathrm{\ }t $$

  $$ y=y_0+v_0\mathrm{sen}\theta \mathrm{\ }t-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}gt^{\mathrm{2}} $$

• La ecuación implícita de la trayectoria se obtiene eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas. Despejando t de x y sustituyendo en y:

$$ y=y_0+\mathrm{tg}\theta \mathrm{\ (}x-x_0\mathrm{)}-\frac{g}{\mathrm{2}v^{\mathrm{2}}_0\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta }\mathrm{(}x-x_0{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}} $$

<aside> 💡

Trayectoria parabólica.

</aside>

Figura 1.17.

• El punto de máxima altura del movimiento $y_{\mathrm{max}}$ se obtiene con la condición:

  $$ \boxed{y_{\mathrm{max}}\Rightarrow v_y=0} $$

• El punto de máximo alcance del movimiento $x_{\mathrm{max}}$ se obtiene como:

  $$ \boxed{x_{\mathrm{max}}\Rightarrow y=0} $$

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Materiales preparados por Luis Fernando Hevia de los Mozos, Daniel Lozano Martín y Susana Villa Vallejo. Publicados bajo licencia Creative Commons 4.0. International, BY NC. Esta licencia requiere que cites al creador de los contenidos si los compartes o reutilizas. Puedes distribuir, remezclar, adaptar y crear a partir del material en cualquier medio o formato, solo para fines NO comerciales.

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