Distribución discreta de masa

• Cuando un sistema, por sus dimensiones, no puede ser considerado una partícula en un determinado problema, se trata como un sistema formado por distintas partículas.
• Distribución discreta de masa: el sistema se describe como un conjunto de masas $m_i$  localizadas en puntos separados ${\overrightarrow{r}}_i$, como se indica en la Figura 3.1:

Figura 3.1. Representación de un sistema de N partículas.

• La masa total M de una distribución discreta se calcula sumando las masas de las partículas:

  $$ M=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_i} $$

Distribución continua de masa

• A escala microscópica, la masa está distribuida discretamente sobre las unidades estructurales que constituyen la materia (átomos, moléculas, etc.).

• A escala macroscópica, en muchas ocasiones hay una enorme cantidad de unidades estructurales que están muy juntas, y se puede suponer de forma muy aproximada que la masa se distribuye de forma continua en una región del espacio.

• Los puntos de una distribución continua (también llamados elementos de masa dm) no son puntos matemáticos con dimensión 0. En realidad, son unos “puntos gordos” que se califican de “físicamente infinitesimales”, como se muestra en la Figura 3.2. Por lo tanto, son:

  • Suficientemente pequeños como para ser considerados puntuales respecto de las dimensiones del problema (es decir, partículas desde el punto de vista mecánico).
  • Suficientemente grandes como para poderse considerar macroscópicos, es decir, para que contengan suficientes unidades estructurales.

  

  Figura 3.2. Representación de una distribución continua de masa.

• Se pueden obtener las fórmulas de las distribuciones continuas a partir de las discretas con unas reglas sencillas de “paso al límite del continuo”: las masas puntuales $m_i$ pasan a ser elementos de masa dm, y las sumas a todas las masas puntuales se convierten en “sumas” a todos los elementos de masa. En particular, para la masa total:

  $$ M=\int_D{dm} $$

• Las sumas a los elementos de masa son “conceptualmente discretas”: se suman muchos elementos de masa, pero el número de ellos es realmente finito porque esos puntos tienen dimensiones (no son puntos matemáticos).

• Sin embargo, las sumas a elementos se escriben como integrales (como si los elementos fueran puntos matemáticos), porque el número de elementos es tan grande que el resultado es, en la práctica, idéntico.

• Por tanto, los conceptos físicos detrás de las fórmulas de las distribuciones continuas son los mismos que en las distribuciones discretas. Por sencillez, normalmente razonaremos usando las fórmulas de las distribuciones discretas.

• Para calcular las sumas a los elementos de masa en forma de integrales, se introduce el concepto de densidad de masa, como se define en la Tabla 3.1 para cada tipo.

• La densidad, en general, es distinta en diferentes puntos de la distribución (depende de la masa que haya en cada punto). Cuando la densidad es la misma en todos los puntos, se dice que la distribución es homogénea o uniforme.

Tabla 3.1. Densidades de masa para cada tipo de distribución de masa.

Definición y propiedades del centro de masa (CM)

• El centro de masas de un sistema de partículas es el punto CM cuyo vector de posición es:

  $$ {\overrightarrow{r}}_{\mathrm{CM}}=\frac{\mathrm{1}}{M}\sum_i{m_i{\overrightarrow{r}}_i}=\frac{\sum_i{m_i{\overrightarrow{r}}i}}{\sum_i{m_i}}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ o\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}=\frac{\mathrm{1}}{M}\int_D{\overrightarrow{r}dm}=\frac{\int_D{\overrightarrow{r}dm}}{\int_D{dm}} $$

  

  Figura 3.3. Representación del vector de posición del centro de masa (CM) para una distribución discreta de masa.