Aplicación de la 2ª ley de Newton (2LN)

• Para determinar el movimiento de un sistema de partículas, hay que aplicar las leyes de Newton a TODAS sus partículas.

• Supongamos un sistema formado por N partículas, en el que la partícula i-ésima tiene posición ${\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}_{\boldsymbol{i}}$ , velocidad ${\overrightarrow{\boldsymbol{v}}}_{\boldsymbol{i}}$ , y aceleración ${\overrightarrow{\boldsymbol{a}}}_{\boldsymbol{i}}$.

• Sobre la partícula i-ésima del sistema actúan:

  • Una fuerza resultante externa ${\overrightarrow{\boldsymbol{F}}}^{\boldsymbol{\mathrm{ext}}}_{\boldsymbol{i}}$, debida a interacciones con el exterior del sistema de partículas.

  • Una fuerza resultante interna ${\overrightarrow{\boldsymbol{F}}}^{\boldsymbol{\mathrm{int}}}_{\boldsymbol{i}}$, que a su vez es la suma de las fuerzas que el resto de las partículas del sistema ejercen sobre la i-ésima:

    $$ {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}i=\sum^N{j=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}{ji}}\mathrm{\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ }{\overrightarrow{F}}{ji}=\mathrm{fuerza\ de\ la\ part\textrm{\'{i}}cula\ }j\mathrm{\ sobre\ la\ }i\mathrm{\ \ \ ,}\mathrm{\ \ \ \ }{\overrightarrow{F}}_{ii}=\overrightarrow{0} $$

• Si las partículas tienen masa constante, aplicando la 2LN a la partícula i-ésima:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}_i+{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}_i=\frac{d{\overrightarrow{p}}_i}{dt}=m_i{\overrightarrow{a}}_i\mathrm{\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ }i=\mathrm{1,2,...,}N} $$

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  Esto da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden y dependientes unas de otras (muy difícil en general).

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Aplicación de la 3ª ley de Newton (3LN)

• Las fuerzas sobre un sistema de partículas se definen de forma aditiva, es decir, como la suma de las asociadas a cada una de sus partículas.

• Fuerza externa/interna/total sobre el sistema = suma de las fuerzas externas/internas/totales sobre las partículas:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}_i}} $$

  $$ \boxed{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}_i}} $$

  $$ \boxed{\overrightarrow{F}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}_i}} $$

• También se define de forma aditiva el momento lineal total:

  $$ \boxed{\overrightarrow{p}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{p}}_i}} $$

• La ley de acción y reacción implica que la suma de las fuerzas internas en un sistema de partículas es nula. Sin embargo, NO implica que la suma de las fuerzas internas sobre CADA partícula i-ésima se anule (lo que se anula son los pares acción-reacción, que actúan sobre partículas distintas):

  $$ {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}_i}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ pero\ \ \ \ \ \ \ \ }{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}_i\neq \overrightarrow{0} $$

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  Aclaración importante sobre la 3LN aplicada a un sistema de partículas

  • La 3LN NO implica que la suma de las fuerzas internas sobre CADA partícula i-ésima se anule. Los pares acción-reacción NUNCA ACTÚAN SOBRE LA MISMA PARTÍCULA; siempre actúan sobre partículas distintas:

  

  • Por ello, en el balance de fuerzas sobre CADA PARTÍCULA, hay que incluir las fuerzas internas:

    $$ {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}_i+{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}_i=m_i{\overrightarrow{a}}_i $$

    $$ \sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{int}}_i}=\overrightarrow{0} $$

    $$ {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{a}}_i} $$

  • La 3LN SÍ IMPLICA que la suma de las fuerzas internas en un sistema de partículas es cero, porque se anulan todos los pares acción-reacción entre DISTINTAS partículas. </aside>

Momento lineal total del sistema

• Sumando las ecuaciones de movimiento, las fuerzas internas se anulan y se obtiene la relación fuerza externa-momento lineal total:

  $$ {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt} $$

• De esta ecuación se deduce el principio de conservación del momento lineal: si la fuerza externa resultante sobre un sistema de partículas es cero, su momento lineal permanece constante.

  $$ \mathrm{Si\ \ \ }{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\overrightarrow{p}\mathrm{\ \ es\ constante} $$

• En adelante, supondremos que las masas de las partículas son constantes. En tal caso:

  $$ \overrightarrow{p}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v}}_i} $$

  $$ {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{a}}_i} $$

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Repasa con JOVE:

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