• A medida que pasa el tiempo, cada partícula o punto de un sistema experimenta un desplazamiento que, en general, puede ser distinto para cada partícula o punto. Al conjunto de los desplazamientos de todas partículas del se le denomina desplazamiento del sistema.

Traslación

• El desplazamiento de un sistema se denomina traslación si los desplazamientos de todas las partículas son iguales. Si tomamos un punto P que sea la posición de una partícula del sistema o de su CM, el desplazamiento de la partícula i-ésima se puede poner como:

  • Desplazamientos en una traslación: $\boxed{\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}i=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}{\mathrm{P}}}$.

• Y las velocidades y aceleraciones se pueden poner también en función de las del punto P de referencia.

  • Velocidades en una traslación: $\boxed{{\overrightarrow{v}}i={\overrightarrow{v}}{\mathrm{P}}}$.
  • Aceleraciones en una traslación: $\boxed{{\overrightarrow{a}}i={\overrightarrow{a}}{\mathrm{P}}}$.

• En una traslación, las posiciones relativas de las partículas del sistema permanecen constantes (en módulo, dirección y sentido):

  $$ \mathrm{\Delta }\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\mathrm{)}=\mathrm{\Delta }\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{A}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{B}}\mathrm{)}=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}{\mathrm{A}}-\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}{\mathrm{B}}=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}{\mathrm{P}}-\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}{\mathrm{P}}=\overrightarrow{0} $$

  

  Figura 3.4.

• En un movimiento de traslación, el sólido no tiene por qué moverse en línea recta. Ejemplo: movimiento de traslación continua de los vagones de una noria, como se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5. http://laplace.us.es/wiki/images/a/ab/Noria-traslacion.gif

Rotación

• El desplazamiento de un sistema se denomina rotación en torno a un eje E si cada partícula efectúa un movimiento circular en torno al eje E.

Figura 3.6.

• En una rotación, el ángulo girado $\boldsymbol{\mathrm{\Delta}\theta}$, la velocidad angular escalar $\boldsymbol{{\omega}}$ y la aceleración angular escalar $\boldsymbol{\alpha}$ son las mismas para todas las partículas.

• El desplazamiento escalar de cada partícula del sistema se puede poner en función del ángulo girado, siempre expresado en radianes, y la distancia $\textbf{\textit{R}}_{i}$ al eje de giro (que puede ser distinta para distintas partículas), lo que conduce a las siguientes expresiones:

  • Desplazamientos escalares en una rotación: $\boxed{\mathrm{\Delta }s_i=\mathrm{\Delta }\theta \cdot R_i}$.
  • Velocidades escalares en una rotación: $\boxed{v_{\mathrm{s}i}=\omega \cdot R_i}$.
  • Aceleraciones escalares en una rotación: $\boxed{a_{\mathrm{s}i}=\alpha \cdot R_i}$.

• Se puede definir un vector velocidad angular para un movimiento circular en torno a un eje E como un vector $\overrightarrow{\omega}$ ****con las siguientes características:

  • Módulo: $\left|\overrightarrow{\omega}\right|=|\omega|$.
  • Dirección: perpendicular a la trayectoria.
  • Sentido: el del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento.

• Tomando como origen un punto O del eje de rotación (que está en reposo), la velocidad de una partícula cualquiera del sistema se puede poner como:

  • Velocidades en una rotación: $\boxed{{\overrightarrow{v}}_i=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_i}$.

    

    Figura 3.7.

  • En efecto, la dirección y sentido de este producto vectorial coinciden con los de la velocidad de las partículas, y su módulo es igual al valor absoluto de la velocidad escalar:

    $$ \left|{\overrightarrow{v}}_i\right|=\left|\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_i\right|=\left|\overrightarrow{\omega }\right|\left|{\overrightarrow{r}}_i\right|\mathrm{sen}{\varphi }i=\left|\omega \right|R_i=\left|\omega R_i\right|=\left|v{\mathrm{s}i}\right| $$

    

    Figura 3.8.

    

    Figura 3.9.

• De igual modo, se puede definir un vector aceleración angular $\overrightarrow{\boldsymbol{\alpha}}$ para un movimiento circular en torno a un eje E como:

  $$ \boxed{\overrightarrow{\alpha }\mathrm{:}=\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}} $$

• Este vector tiene las siguientes características:

  • Módulo: $\left|\overrightarrow{\alpha }\right|=\left|\alpha \right|$.
  • Dirección: perpendicular a la trayectoria.
  • Sentido: el de $\overrightarrow{\omega}$ si $\left|\overrightarrow{\omega}\right|$ aumenta, y el contrario a $\overrightarrow{\omega}$ si $\left|\overrightarrow{\omega}\right|$ disminuye.

• Es fácil comprobar que las componentes intrínsecas de la aceleración se pueden poner como:

  • Aceleraciones tangenciales en una rotación: $\boxed{{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{t,}i}=\overrightarrow{\alpha }\times {\overrightarrow{r}}_i}$.

  • Aceleraciones normales en una rotación: $\boxed{{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{n,}i}=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_i=\overrightarrow{\omega }\times \left(\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_i\right)}$.

  • Y, por lo tanto: ${\overrightarrow{a}}_i=\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_i\right)=\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}\times {\overrightarrow{r}}_i+\overrightarrow{\omega }\times \frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}=\overrightarrow{\alpha }\times {\overrightarrow{r}}i+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}i={\overrightarrow{a}}{\mathrm{t,}i}+{\overrightarrow{a}}{\mathrm{n,}i}$.

    

    Figura 3.10.