Momento angular de una partícula

• Sean:

  • Un punto Q que tiene posición ${\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}_{\boldsymbol{Q}}$, velocidad ${\overrightarrow{\boldsymbol{v}}}_{\boldsymbol{Q}}$, y aceleración ${\overrightarrow{\boldsymbol{a}}}_{\boldsymbol{Q}}$ respecto a un sistema de referencia inercial.
  • Una partícula de masa m que, respecto a ese mismo sistema de referencia, tiene posición posición $\overrightarrow{\boldsymbol{r}}$, velocidad $\overrightarrow{\boldsymbol{v}}$ y aceleración $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$.

• Se define el momento angular de la partícula respecto a Q como:

  

  Figura 4.1

Figura 4.2.

• Características del momento angular:
  • Módulo: $\left|{\overrightarrow{L}}_Q\right|=\left|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}Q\right|\cdot m\cdot \left|\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}Q\right|\cdot \mathrm{sen}\phi =\left|{\overrightarrow{r}}{\mathrm{part/}Q}\right|\cdot m\cdot \left|{\overrightarrow{v}}{\mathrm{part/}Q}\right|\cdot \mathrm{sen}\phi$.
  • Dirección: perpendicular al plano formado por $\overrightarrow{r}{\mathrm{part/}Q}$ y $\overrightarrow{v}{\mathrm{part/}Q}$.
  • Sentido: el de un tornillo que avanza girando de $\overrightarrow{r}{\mathrm{part/}Q}$ a $\overrightarrow{v}{\mathrm{part/}Q}$ por el camino más corto cuando estos vectores se ponen con origen común.
• Significado físico del momento angular:
  • Cuando la partícula se acerca o se aleja en línea recta del punto Q, entonces $\phi =0$ o $180\mathrm{{}^\circ}$ y ${\overrightarrow{L}}_Q=\overrightarrow{0}$.
  • Cuando el movimiento de la partícula es circular en torno a Q, entonces $\phi =\mathrm{90{}^\circ}$ y $\left|{\overrightarrow{L}}_Q\right|$ es máximo respecto a $\phi$.
  • $\left|{\overrightarrow{L}}Q\right|$ aumenta al aumentar el “radio” $|{\overrightarrow{r}}{\mathrm{part}/Q}|$ del movimiento respecto a Q y la velocidad $|{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{part}/Q}|$ de dicho movimiento.
  • Se puede decir coloquialmente que ${\overrightarrow{\boldsymbol{L}}}_{\boldsymbol{Q}}$ es una medida de la “cantidad de movimiento circular” que efectúa la partícula respecto a Q.

Momento de una fuerza sobre una partícula

• En las mismas condiciones que en la definición del momento angular, si sobre la partícula actúa una fuerza $\overrightarrow{F}$, se define el momento de $\overrightarrow{F}$ respecto a Q como:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}_{\overrightarrow{F},Q}\mathrm{:}=\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}Q\mathrm{)}\times \overrightarrow{F}={\overrightarrow{r}}{\mathrm{part/}Q}\times \overrightarrow{F}} $$

  

  Figura 4.3.

• Características del momento de una fuerza:

  • Módulo: $\left|{\overrightarrow{M}}_{\overrightarrow{F},Q}\right|=\left|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}Q\right|\cdot \left|\overrightarrow{F}\right|\cdot \mathrm{sen}\phi =\left|{\overrightarrow{r}}{\mathrm{part/}Q}\right|\cdot \left|\overrightarrow{F}\right|\cdot \mathrm{sen}\phi$.
  • Dirección: perpendicular al plano formado por $\overrightarrow{r}_{\mathrm{part/}Q}$ y $\overrightarrow{F}$.
  • Sentido: el de un tornillo que avanza girando de $\overrightarrow{r}_{\mathrm{part/}Q}$ a $\overrightarrow{F}$ por el camino más corto cuando estos vectores se ponen con origen común.

• Significado físico del momento de una fuerza:

  • Si $\overrightarrow{F}$ actúa en la dirección de la recta que une la partícula y el punto Q $\Rightarrow$ $\phi =0$ o $180\mathrm{{}^\circ}$ y ${\overrightarrow{M}}_{\overrightarrow{F},Q}=\overrightarrow{0}$.
  • Si $\overrightarrow{F}$ actúa perpendicular a dicha recta $\Rightarrow$ $\phi =\mathrm{90{}^\circ}$ y $\left|{\overrightarrow{M}}_{\overrightarrow{F},Q}\right|$ es máximo respecto a $\phi$.
  • $\left|{\overrightarrow{M}}{\overrightarrow{F},Q}\right|$ aumenta al aumentar el “radio” $\left|\overrightarrow{r}{\mathrm{part/}Q}\right|$ y $\left|\overrightarrow{F}\right|$.
  • Se puede decir coloquialmente que ${\overrightarrow{\boldsymbol{M}}}_{\overrightarrow{\boldsymbol{F}},\boldsymbol{Q}}$ es una medida de la tendencia de $\boldsymbol{\overrightarrow{F}}$ a hacer girar la partícula respecto a Q.

Relación entre momento angular y momento de una fuerza para una partícula

• El momento de fuerzas es aditivo: si varias fuerzas actúan sobre la partícula, el momento de la fuerza resultante, ${\overrightarrow{\boldsymbol{M}}}_{\boldsymbol{Q}}$, es igual a la suma de los momentos de cada fuerza. Entonces:

  $$ {\overrightarrow{M}}Q\mathrm{:}={\overrightarrow{M}}{{\overrightarrow{F}}_a+{\overrightarrow{F}}_b+...,Q}=\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times \mathrm{(}{\overrightarrow{F}}_a+{\overrightarrow{F}}_b+\mathrm{...)}=\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}_a+\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}b+...={\overrightarrow{M}}{{\overrightarrow{F}}a,Q}+{\overrightarrow{M}}{{\overrightarrow{F}}_b,Q}+... $$

• Derivando el momento angular respecto al tiempo (suponiendo que m es constante):

  $$ \begin{array}{l}

  \frac{d{\overrightarrow{L}}_Q}{dt}=\frac{d}{dt}\left\{\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m\mathrm{(}\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_Q\mathrm{)}\right\}=\cancel{\mathrm{(}\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_Q\mathrm{)}\times m\mathrm{(}\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_Q\mathrm{)}}+\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m\mathrm{(}\overrightarrow{a}-{\overrightarrow{a}}_Q\mathrm{)}= \\

  =\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m\overrightarrow{a}-\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m{\overrightarrow{a}}_Q={\overrightarrow{M}}_Q-\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m{\overrightarrow{a}}_Q \end{array} $$

• Se obtiene así la relación momento de fuerza – momento angular respecto a un punto Q cualquiera:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}_Q=\frac{d{\overrightarrow{L}}_Q}{dt}+\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m{\overrightarrow{a}}_Q} $$

  <aside> 💡

  Q recibe el nombre de centro de momentos.

  </aside>

• Caso particular cuando el centro de momentos es un punto O no acelerado, ${\overrightarrow{\boldsymbol{a}}}_{\boldsymbol{O}}\boldsymbol{=}\overrightarrow{\boldsymbol{0}}$:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}_O=\frac{d{\overrightarrow{L}}_O}{dt}} $$

Fuerzas centrales

• Fuerza central es aquella cuya línea de acción pasa siempre por un punto fijo que está en reposo respecto a algún sistema inercial, al que se llama centro de la fuerza.

• Si se toma como centro de momentos el centro de la fuerza (O en la Figura 4.4), el momento de la fuerza es cero. Por lo tanto, en el movimiento de una partícula bajo una fuerza central de centro O, el momento angular respecto de O es constante:

  $$ \frac{d{\overrightarrow{L}}_O}{dt}={\overrightarrow{M}}_O=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }{\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}\mathrm{\ es\ constante\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\left|{\overrightarrow{L}}_O\right|=rmv\mathrm{sen}\phi \mathrm{\ es\ constante} $$

  

  Figura 4.4.