Momentos sobre las partículas de un sistema

• Las fuerzas de contacto, de cohesión y gravitatorias newtonianas que estamos considerando, además de la ley de acción-reacción general, cumplen una condición extra: están dirigidas a lo largo de la línea que une las partículas. Esto implica que:

  $$ \left\{ \begin{array}{l}

  {\overrightarrow{M}}{\mathrm{12,}Q}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}Q\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}{\mathrm{12}} \\

  {\overrightarrow{M}}{\mathrm{21,}Q}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}-{\overrightarrow{r}}Q\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}{\mathrm{21}}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}-{\overrightarrow{r}}Q\mathrm{)}\times \mathrm{(}-{\overrightarrow{F}}{\mathrm{12}}\mathrm{)}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}Q-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}{\mathrm{12}} \end{array}

  \right. $$

  $$ {\overrightarrow{M}}{\mathrm{12,}Q}+{\overrightarrow{M}}{\mathrm{21,}Q}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}_{\mathrm{12}}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ (v}\mathrm{ectores\ paralelos)} $$

  $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}{\mathrm{21,}Q}\mathrm{=}-{\overrightarrow{M}}{\mathrm{12,}Q}} $$

  

  Figura 4.5.

• Este resultado se conoce como Ley fuerte de acción-reacción. Cuando las fuerzas entre dos partículas están dirigidas a lo largo de la línea que las une, el momento realizado por la partícula 1 sobre la partícula 2 y el realizado por la partícula 2 sobre la partícula 1 son iguales en módulo y dirección, pero de sentido contrario.

• Sobre la partícula i-ésima del sistema actúan momentos (respecto a un punto dado Q), consecuencia de las fuerzas que actúan sobre ella:

  • Un momento resultante externo ${\overrightarrow{\boldsymbol{M}}}^{\boldsymbol{\mathrm{ext}}}_{\boldsymbol{i},\boldsymbol{Q}}$, debido a las fuerzas externas.

  • Un momento resultante interno ${\overrightarrow{\boldsymbol{M}}}^{\boldsymbol{\mathrm{int}}}_{\boldsymbol{i},\boldsymbol{Q}}$, que a su vez es la suma de los momentos que el resto de las partículas del sistema ejercen sobre la i-ésima:

    $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}{i,Q}=\sum^N{j=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}{ji,Q}}\mathrm{\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ }{\overrightarrow{M}}{ji}=\mathrm{momento\ de\ la\ part\textrm{\'{i}}cula\ }j\mathrm{\ sobre\ la\ }i\mathrm{\ \ \ ,\ \ \ \ }{\overrightarrow{M}}_{ii}=\overrightarrow{0} $$

• Aplicando la relación momento de fuerza-momento angular a la partícula i-ésima:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{i,Q}+{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}{i,Q}=\frac{d{\overrightarrow{L}}_{i,Q}}{dt}+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m_i{\overrightarrow{a}}_Q\mathrm{\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ }i=\mathrm{1,2,...,}N} $$

• Los momentos sobre un sistema de partículas se definen de forma aditiva, es decir, como la suma de los asociados a cada una de sus partículas.

  • Momento externo/interno/total sobre el sistema = suma de los momentos externos/internos/totales sobre las partículas.

    $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}Q\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_{i,Q}}} $$

    $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}Q\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}_{i,Q}}} $$

    $$ \boxed{{\overrightarrow{M}}Q\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}_{i,Q}}} $$

• También se define de forma aditiva el momento angular total:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{L}}Q\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{L}}_{i,Q}}} $$

• La ley (fuerte) de acción y reacción implica que la suma de los momentos internos en un sistema de partículas es nula:

  $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}Q=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}{i,Q}}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ pero\ \ \ \ \ \ \ \ }{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}{i,Q}\neq \overrightarrow{0} $$

  <aside> 💡

  Análogamente al caso de las fuerzas, NO implica que la suma de los momentos internos sobre CADA partícula se anule.

  </aside>

• Sumando las ecuaciones de movimiento, los momentos internos se anulan y:

  $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{i,Q}+{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{int}}{i,Q}=\frac{d{\overrightarrow{L}}_{i,Q}}{dt}+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times m_i{\overrightarrow{a}}_Q\ \ \ \ \ \mathop{\Rightarrow }^{\mathrm{(}*\mathrm{)}}\ \ \ \ \ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_Q=\frac{d{\overrightarrow{L}}Q}{dt}+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times M{\overrightarrow{a}}_Q $$

  $$ \mathrm{(}*\mathrm{)\ \ }\sum^N_{i=\mathrm{1}}{\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}i-{\overrightarrow{r}}Q\mathrm{)}\times m_i{\overrightarrow{a}}Q}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r}}{i\mathrm{/}Q}\times m_i{\overrightarrow{a}}Q}=\left(\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{r}}{i\mathrm{/}Q}}\right)\times {\overrightarrow{a}}Q=M{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM/}Q}\times {\overrightarrow{a}}Q=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times M{\overrightarrow{a}}_Q $$

• El segundo término se anula en dos casos notables y da lugar a dos leyes de conservación:

  • Cuando el centro de momentos Q es un punto O no acelerado:

    $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_O=\frac{d{\overrightarrow{L}}_O}{dt} $$

    $$ \mathrm{Si\ \ \ }{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_O=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }{\overrightarrow{L}}_O\mathrm{\ \ es\ constante} $$

  • Cuando el centro de momentos Q es el centro de masa CM del sistema**:**

    $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{\mathrm{CM}}=\frac{d{\overrightarrow{L}}{\mathrm{CM}}}{dt} $$

    $$ \mathrm{Si\ \ \ }{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }{\overrightarrow{L}}{\mathrm{CM}}\mathrm{\ \ es\ constante} $$

Cambio del centro de momentos

• La relación entre el momento de una fuerza cualquiera respecto de un centro de momentos $Q$ y respecto de otro centro de momentos diferente $Q'$ se deduce fácilmente:

$$ \left\{ \begin{array}{l}

{\overrightarrow{M}}_{\overrightarrow{F},Q}=\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_Q\mathrm{)}\times \overrightarrow{F} \\

{\overrightarrow{M}}{\overrightarrow{F},Q'}=\mathrm{(}\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}{Q'}\mathrm{)}\times \overrightarrow{F} \end{array}

\right\}\mathrm{\ \ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ \ restando:\ \ \ \ }{\overrightarrow{M}}{\overrightarrow{F},Q'}={\overrightarrow{M}}{\overrightarrow{F},Q}+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}Q-{\overrightarrow{r}}{Q'}\mathrm{)}\times \overrightarrow{F} $$

• En general, el momento externo sobre el sistema ${\overrightarrow{M}}^{ext}_Q$ depende de la posición del centro de momentos $Q$. La relación entre ${\overrightarrow{M}}^{ext}Q$ y ${\overrightarrow{M}}{Q'}$ se deduce de la anterior:

  $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{Q'}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{i,Q'}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{\left[{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{i,Q}+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}Q-{\overrightarrow{r}}{Q'}\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}i\right]}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{i,Q}}}+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}Q-{\overrightarrow{r}}{Q'}\mathrm{)}\times \left[\sum^N_{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}_i}\right] $$

  $$ {\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_{Q'}={\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_Q+\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}Q-{\overrightarrow{r}}{Q'}\mathrm{)}\times {\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}} $$

• En el caso particular de que ${\overrightarrow{\boldsymbol{F}}}^{\boldsymbol{\mathrm{ext}}}$ sea cero, entonces el momento externo sobre el sistema es independiente del centro de momentos (esto será importante, por ejemplo, en el equilibrio).

Equilibrio y equilibrio estático

• Se dice que un sistema de partículas está en equilibrio estático en un cierto sistema de referencia (SR) si todas sus partículas están en reposo en dicho SR.

  • Definición de equilibrio estático en un cierto SR: ${\overrightarrow{\boldsymbol{v}}}_{\boldsymbol{i}}\boldsymbol{=}\overrightarrow{\boldsymbol{0}}$.

• Supongamos que se trata de un SR inercial (SRI) y que O es el origen de dicho SRI:

  $$ \begin{array}{l}

  \overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }{\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}=\overrightarrow{0} \\

  {\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }{\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}_O=\overrightarrow{0} \end{array} $$