Supongamos un sistema de partículas y un eje E en el espacio. Se define el momento de inercia del sistema respecto al eje E como:
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Momento de inercia del cuerpo respecto al eje E: $I_{\mathrm{E}}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_iR^{\mathrm{2}}_i}$.
Figura 4.6.
A veces, cuando se sobreentiende la dirección de E, en la notación se puede indicar un punto por el que pasa dicho eje (por ejemplo, O en la Figura 4.6) en lugar de E:
- $I_{\mathrm{O}}$, notación alternativa para el momento de inercia cuando se sobreentiende la dirección del eje E que pasa por O:
El momento de inercia es aditivo: el momento de inercia de un cuerpo formado por varias partes es igual a la suma de los momentos de inercia de cada una de sus partes.
Si la distribución es continua: $I_{\mathrm{E}}\mathrm{:}=\int_D{R^{\mathrm{2}}dm}$. En la Tabla 4.1 se pueden encontrar las expresiones de los momentos de inercia para las geometrías más comunes.
Tabla 4.1.
Más adelante veremos por qué el momento de inercia representa la resistencia de un cuerpo a variar su velocidad angular de rotación en torno a un eje (“inercia rotacional”), como se muestra en la Figura 4.7.
Figura 4.7.
Se denomina radio de giro respecto a un eje de rotación E a la magnitud:
$$ \boxed{K_{\mathrm{E}}\mathrm{:}=\sqrt{\frac{I_{\mathrm{E}}}{M}}} $$
Interpretación física de la magnitud: es la distancia a la que se tendría que encontrar una única partícula con toda la masa del sólido para que el momento de inercia fuera el mismo que el de el sólido. A veces, en tablas de momentos de inercia, está tabulado el radio de giro en lugar del momento de inercia en sí. En tales casos, el momento de inercia se calcula como:
$$ I_{\mathrm{E}}=M\mathrm{(}K_{\mathrm{E}}{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}} $$
El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por un punto P del sólido con el momento de inercia respecto de otro eje paralelo que pasa por el CM (la demostración es geométrica, y puede consultarse en el libro de Burbano de Ercilla, Física General, Lección X – 5, “Teorema de Steiner”):
$$ I_{\mathrm{P}}=I_{\mathrm{CM}}+MD^{\mathrm{2}} $$
Figura 4.8.
El teorema de los ejes perpendiculares relaciona los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares (X e Y) contenidos en un sólido plano con el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a estos dos (Z) que pase por su punto de corte (O):
$$ I_x=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_iy^{\mathrm{2}}_i} $$
$$ I_y=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_ix^{\mathrm{2}}_i} $$
$$ I_z=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_iR^{\mathrm{2}}i}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i\mathrm{(}y^{\mathrm{2}}_i+x^{\mathrm{2}}i\mathrm{)}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_iy^{\mathrm{2}}i}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_ix^{\mathrm{2}}_i}=I_x+I_y $$
$$ \boxed{I_z=I_x+I_y} $$
