4.4 Sólido rígido

Definición y teoremas

Un sólido rígido es un sistema de partículas en el que las distancias relativas entre sus partículas son constantes:

$$ \boxed{{\left|{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j\mathrm{)}\cdot \mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j\mathrm{)}=\mathrm{cte}} $$
Un sólido rígido no puede deformarse. Puede efectuar únicamente traslaciones y rotaciones.
Existe una serie de teoremas de naturaleza geométrica que pueden deducirse a partir de la condición de rigidez. Nosotros los enunciaremos sin demostrar.
- Teorema 1 (grados de libertad). La posición de todos los puntos de un sólido rígido queda completamente determinada especificando 6 parámetros. Normalmente, se utilizan como parámetros:
  - Las 3 coordenadas de uno de sus puntos o de su CM.
  - 3 ángulos que forman rectas contenidas en el sólido con 3 ejes fijos.
- Teorema 2 (teorema de Chasles). Si se conoce la velocidad de un punto P, donde P puede ser una partícula del sólido o su CM, entonces la velocidad de cualquier otra partícula del sólido o de su CM es:
  
  Figura 4.10.
  - Al punto P se le denomina polo o centro de reducción. La velocidad angular de rotación del sólido es independiente del polo y se denomina velocidad angular del sólido rígido. Además, todos los ejes de rotación son paralelos entre sí.
  - Dicho de otra manera, el movimiento más general de un sólido rígido es la composición de una traslación con una rotación en torno a un eje. Existen infinitas formas de combinar una traslación y una rotación con idéntico resultado, pero para todas ellas el ángulo girado es el mismo y los ejes de rotación son paralelos:
    
    Figura 4.11.
Ecuaciones de movimiento general:
En el caso de un movimiento general (tridimensional) de un sólido rígido, necesitamos 6 parámetros para caracterizar su movimiento. Para determinar estos 6 parámetros hacen falta 6 ecuaciones escalares (2 ecuaciones vectoriales):
- El balance de fuerzas: ${\overrightarrow{F}}^{\mathrm{ext}}=M{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{CM}}$.
- El balance de momentos:
  - ${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{\mathrm{O}}=\frac{d{\overrightarrow{L}}{\mathrm{O}}}{dt}$ siendo O = punto en reposo; útil cuando el movimiento se puede considerar de rotación pura.
  - ${\overrightarrow{M}}^{\mathrm{ext}}{\mathrm{CM}}=\frac{d{\overrightarrow{L}}{\mathrm{CM}}}{dt}$, útil en cualquier movimiento (traslación + rotación).

<aside> 💡

Si el sólido tiene un punto fijo o pivote suele ser más sencillo tomar momentos respecto al pivote que respecto al CM.

</aside>

En el caso de un movimiento plano de un sólido rígido, necesitamos 3 parámetros para caracterizar su movimiento. Para determinarlos hacen falta 3 ecuaciones escalares.
Si escogemos el plano XY como plano del movimiento que contenga el CM:
- El movimiento del CM estará siempre contenido en ese plano, por lo que el balance de fuerzas nos dará dos ecuaciones escalares (componentes X e Y).
- Por razones que se verán más adelante, en el balance de momentos en movimiento plano conviene usar la ecuación de la componente Z:
  - $M^{\mathrm{ext}}{\mathrm{O,}z}=\frac{dL{\mathrm{O,}z}}{dt}$ siendo O = punto en reposo; útil cuando el movimiento se puede considerar de rotación pura.
  - $M^{\mathrm{ext}}{\mathrm{CM,}z}=\frac{dL{\mathrm{CM,}z}}{dt}$, útil en cualquier movimiento (traslación + rotación).

Movimiento plano de rotación pura

Un sólido rígido efectúa un movimiento plano si todas las velocidades son siempre paralelas a un plano dado.
Si el movimiento es plano, los grados de libertad del sólido se reducen a 3:
- 2 coordenadas de un punto en el plano.
- 1 ángulo de rotación en torno a un eje perpendicular al plano.
Ahora estudiaremos el movimiento de rotación pura de un sólido rígido en torno a un eje de rotación fijo.
- Adoptaremos un criterio de elección de ejes, que respetaremos salvo que se indique específicamente lo contrario en algún ejercicio.
  - El eje de rotación será el eje Z (o paralelo a él). Por lo tanto, su dirección será fija.
  - El plano XY será perpendicular al eje de rotación. Las velocidades tendrán solo componentes X e Y.
- Como ejemplo, en la Figura 4.12 representamos cómo se describiría la posición de una partícula del sólido que efectúa rotación pura en torno al eje Z.
  
  Figura 4.12.
- Adoptaremos un criterio de signos para la velocidad angular escalar, de tal forma que exista una relación biunívoca entre el sentido positivo del eje de rotación (Z) y el sentido de giro con velocidad angular positiva.
- Regla de la mano derecha: al enrollar los dedos de la mano derecha en torno al eje Z con el pulgar apuntando en sentido positivo, el resto de los dedos apuntan en el sentido positivo de la velocidad angular. Con este convenio, la velocidad angular escalar coincide con la coordenada Z de la velocidad angular vectorial.
  
  Figura 4.13.
- En la Figura 4.14, el punto O es un punto no acelerado (por estar en el eje de rotación de dirección fija):
  
  Figura 4.14.
- Las posiciones ${\overrightarrow{r}}_i$ y velocidades ${\overrightarrow{v}}_i$ son relativas a O.
- ${\overrightarrow{v}}_i$ está contenida en el plano perpendicular al eje Z.
- El momento angular de la partícula i-ésima del sistema es ${\overrightarrow{L}}_{i\mathrm{,O}}={\overrightarrow{r}}_i\times m_i{\overrightarrow{v}}_i$, y tiene la dirección indicada en la Figura 4.14. No es paralelo al eje de rotación (eje Z).
- Nos interesa su componente Z (para la ecuación de movimiento):
  
  $$ \begin{array}{l}
  
  \left|{\overrightarrow{L}}_{i\mathrm{,O}}\right|=\left|{\overrightarrow{r}}_i\times m_i{\overrightarrow{v}}_i\right|=m_i\left|{\overrightarrow{r}}_i\right|\left|{\overrightarrow{v}}_i\right|\mathrm{sen9}0^{\mathrm{o}}=m_i\left|{\overrightarrow{r}}_i\right|\left|{\overrightarrow{v}}_i\right|= \\
  
  =m_i\frac{R_i}{\mathrm{sen}{\phi }_i}\omega R_i=\frac{m_iR^{\mathrm{2}}_i\omega }{\mathrm{sen}{\phi }_i} \end{array} $$
  
  $$ \mathrm{(}L_{i\mathrm{,O}}{\mathrm{)}}z=\left|{\overrightarrow{L}}{i\mathrm{,O}}\right|\mathrm{cos(9}0^{\mathrm{o}}-{\phi }i\mathrm{)}=\left|{\overrightarrow{L}}{i\mathrm{,O}}\right|\mathrm{sen}{\phi }_i=\mathrm{(}m_iR^{\mathrm{2}}_i\mathrm{)}\omega $$
  
  <aside> 💡
  
  Nota: la deducción se ha hecho para ω > 0, pero se obtiene lo mismo si ω < 0**.**
  
  </aside>
- Otra forma de calcular la componente Z del momento angular (usando coordenadas; ver Figura 4.12):
  
  $$ {\overrightarrow{r}}_i=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}i{\mathrm{)}}{\mathrm{XY}}+z_i\hat{k}=x_i\hat{i}+y_i\hat{j}+z_i\hat{k}=R_i\mathrm{cos}\theta \hat{i}+R_i\mathrm{sen}\theta \hat{j}+z_i\hat{k} $$
  
  $$ {\overrightarrow{v}}_i=-\omega R_i\mathrm{sen}\theta \hat{i}+\omega R_i\mathrm{cos}\theta \hat{j}=-\omega y_i\hat{i}+\omega x_i\hat{j}\mathrm{\ \ \ \ \ ,\ \ \ }\mathrm{\ \ }\omega =d\theta \mathrm{/}dt $$
  
  $$ {\overrightarrow{L}}_{i\mathrm{,O}}={\overrightarrow{r}}_i\times m_i{\overrightarrow{v}}_i=\left| \begin{array}{lll}
  
  \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
  
  x_i & y_i & z_i \\
  
  m_iv_{ix} & m_iv_{iy} & m_iv_{iz} \end{array}
  
  \right|=\left| \begin{array}{lll}
  
  \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
  
  x_i & y_i & z_i \\
  
  m_i\mathrm{(}-\omega y_i\mathrm{)} & m_i\mathrm{(}\omega x_i\mathrm{)} & 0 \end{array}
  
  \right| $$
  
  $$ \mathrm{(}L_{i\mathrm{,O}}{\mathrm{)}}_z=\omega m_i\left| \begin{array}{ll}
  
  x_i & y_i \\
  
  -y_i & x_i \end{array}
  
  \right|=\omega m_i\mathrm{(}x^{\mathrm{2}}_i+y^{\mathrm{2}}_i\mathrm{)}=\omega m_iR^{\mathrm{2}}_i=\mathrm{(}m_iR^{\mathrm{2}}_i\mathrm{)}\omega $$
- El momento angular total ${\overrightarrow{\boldsymbol{L}}}_{\boldsymbol{\mathrm{O}}}$ se obtiene sumando los de todas las partículas. Tampoco es paralelo al eje de rotación (eje Z).
- Su componente Z es la suma de las componentes Z de los momentos angulares de todas las partículas:
  - Componentes del momento angular en el eje de rotación (que pasa por O): $L_{\mathrm{O,}z}=\left(\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_iR^{\mathrm{2}}i}\right)\omega \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow {}{}{}\ \ \ \ \ L{\mathrm{O,}z}=I_{\mathrm{O}}\omega$ .
  - Balance de momentos en rotación pura: $M^{\mathrm{ext}}{\mathrm{O,}z}=\frac{dL{\mathrm{O,}z}}{dt}=I_{\mathrm{O}}\frac{d\omega }{dt}=I_{\mathrm{O}}\alpha \mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }M^{\mathrm{ext}}{\mathrm{O,}z}=I{\mathrm{O}}\alpha$.
Ejes principales de inercia.
- Se puede demostrar que, dado un sólido rígido, existen al menos 3 ejes perpendiculares tales que, cuando el sólido rota torno a ellos, el momento angular es paralelo a ellos. Estos ejes se denominan ejes principales de inercia.
- Para cualquier punto del sólido existen 3 ejes principales que pasan por él, y no es necesario que este punto sea su CM. Cuando no se indica el punto, se sobreentiende que es el CM.
- Se pueden demostrar también los siguientes teoremas de simetría másica:
  - Si un cuerpo tiene un eje de simetría másica, entonces ese eje es un eje principal de inercia que pasa por su CM.
  - Si un cuerpo tiene dos planos de simetría másica, entonces la intersección de esos dos planos forma una recta que es un eje principal de inercia que pasa por su CM.
  <aside> 💡
  - Recordar que la simetría geométrica implica simetría másica si el cuerpo es homogéneo. </aside>
- Si el eje de rotación es un eje principal, no es necesario ejercer fuerzas externas para mantener la dirección de rotación.
- Sin embargo, cuando el eje de rotación no es principal, para que el sólido mantenga su dirección de rotación, el eje de rotación debe estar “sujeto” a otros cuerpos fijos, que son los que ejercen las fuerzas externas necesarias para mantener esa dirección (estas fuerzas pueden producir desgastes en máquinas y deben evitarse con una buena alineación).
Poleas con masa.
- En el caso de que el sólido que rota sea una polea (o similar), la superficie de la cuerda que se enrolla a su alrededor tiene una cierta velocidad de movimiento.
- La condición de no deslizamiento de la cuerda sobre la polea quiere decir que la velocidad del punto de contacto de la polea debe ser igual a la velocidad de la cuerda.
- Es decir, si P es un punto de la periferia de la polea:
  
  $$ {\overrightarrow{v}}{\mathrm{P}}={\overrightarrow{v}}{\mathrm{punto\ de\ la\ cuerda\ en\ contacto}} $$
  
  $$ {\overrightarrow{a}}{\mathrm{P}}={\overrightarrow{a}}{\mathrm{punto\ de\ la\ cuerda\ en\ contacto}} $$
- Ejemplo. En el caso de la Figura 4.15, el movimiento es de rotación pura en torno al eje de la polea. Si la polea tiene radio R:
  
  $$ v_{\mathrm{sP}}=\omega R $$
  
  $$ a_{\mathrm{sP}}=\alpha R $$
  
  Figura 4.15.
- Si la polea, además, sufre traslación, estas ecuaciones no son correctas.
<aside> 💡

</aside>

Analogías entre traslación pura y rotación pura

Tabla 4.2.

Tabla 4.2.