Eje y centro instantáneo de rotación

• Hay un tercer teorema del sólido rígido que dice: en movimiento plano, existe un eje (que puede estar situado fuera del sólido) en torno al cual el movimiento puede ser considerado como una rotación pura (sin traslación), que recibe el nombre de Eje Instantáneo de Rotación (EIR).

• Como su nombre indica, el EIR es “instantáneo” y no tiene por qué ser el mismo en todos los instantes de tiempo, sino que puede cambiar de un instante a otro.

• Si el eje instantáneo de rotación pasa por un punto del sólido, entonces ese punto del sólido tiene velocidad nula en ese instante.

• Para representar el movimiento plano de un sólido rígido, se suele dibujar solo un plano del mismo paralelo al movimiento.

• El punto de corte del EIR con el plano dibujado se denomina Centro Instantáneo de Rotación (CIR):

  

  Figura 4.16.

• Propiedades del CIR:

  • Se encuentra en la recta perpendicular a la velocidad de cada punto, pues el movimiento es de rotación pura en torno a él.

  • Es un punto en reposo instantáneo (su velocidad instantánea es cero). La celeridad de otro punto P del sólido crece linealmente con la distancia al CIR:

    $$ {\overrightarrow{v}}{\mathrm{P}}={\overrightarrow{v}}{\mathrm{rot.P/CIR}} $$

    $$ v_{\mathrm{sP}}=\omega \cdot r_{\mathrm{P/CIR}} $$

  <aside> 💡

  • Nota: la aceleración del CIR no tiene por qué ser cero. </aside>

Rodadura plana

• Un sólido rígido de sección circular efectúa rodadura (plana) cuando existe rotación mientras está en contacto continuo con la superficie de otro sólido (“superficie de contacto”).
• Existen diversas posibilidades en función de la velocidad de las superficies:
  • Caso 1: La superficie de contacto está en reposo. Ejemplos:
    • Un cilindro en rotación en contacto con un plano.
  • Caso 2: La superficie de contacto no está en reposo. Ejemplos:
    • Un disco en rotación en contacto con una cinta transportadora en movimiento.
    • Una polea en rotación en contacto con una cuerda que se enrolla o desenrolla.
• Se dice que el movimiento es de rodadura sin deslizamiento cuando las velocidades de los puntos en contacto de las dos superficies son iguales.
  • En caso contrario, se habla de rodadura con deslizamiento.

Rodadura sin deslizamiento y superficie en reposo

• La velocidad de los puntos de la superficie es nula por estar en reposo. La condición de no deslizamiento implica que la velocidad del punto de contacto (el punto 1 de la figura) debe ser igual que la velocidad del punto de la superficie. Por tanto, la velocidad del punto de contacto es siempre cero.

  

  Figura 4.17.

• Como consecuencia, el punto de contacto es el CIR.  Importante: el CIR no es un único punto del sólido, sino que en cada instante es un punto diferente del sólido.

• El sólido rota en sentido horario, por lo que la velocidad angular va hacia dentro del papel.

• La velocidad escalar de cualquier otro punto será:

  $$ v_{\mathrm{s}i}=\omega \cdot r_{i\mathrm{/CIR}} $$

  <aside> 💡

  ${\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}_{\boldsymbol{i}\boldsymbol{/}\boldsymbol{\mathrm{CIR}}}$ dibujado en la Figura 4.17 para el punto 2 y el CM.

  </aside>

• Suponiendo que el sentido de movimiento es el que hemos tomado como positivo, podemos igualar la velocidad escalar al módulo de la velocidad:

  $$ v_i=\omega \cdot r_{i\mathrm{/CIR}} $$

• Particularizando para los puntos 2, 3 y 4:

  $$ v_{\mathrm{2}}=v_{\mathrm{4}}=\omega \cdot R\sqrt{\mathrm{2}} $$

  $$ v_{\mathrm{3}}=\omega \cdot \mathrm{2}R $$