1. Determine el momento angular respecto al origen en las siguientes situaciones:

    1. Un coche de masa $m=1200\ \mathrm{kg}$ se mueve en un círculo de radio $r=20\ \mathrm{m}$ con velocidad de módulo $v=15\ \mathrm{m/s}$. El círculo se halla en el plano XY, centrado en el origen. Visto desde un punto situado en la parte positiva del eje Z, el coche se mueve en sentido antihorario.
    2. El mismo coche se mueve con velocidad $\overrightarrow{v}=-v\hat{i}$ a lo largo de la línea $y=y_0=20\ \mathrm{m}$, en el plano XY, paralela al eje X en sentido negativo.

  2. La masa $m$ se mueve con velocidad de módulo $v_0$ en una trayectoria circular sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Está sujeta a una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa a través de un orificio (sin rozamiento) situado en el centro de la mesa, de la que se tira con la fuerza adecuada para que la trayectoria circular tenga un radio $r_0$. Se comienza a tirar con mayor fuerza de la cuerda lentamente hacia abajo de modo que la partícula de masa $m$ se mueve en una circunferencia de menor radio $r_\mathrm{f}$. Calcule el módulo de la velocidad final de la partícula, $v_\mathrm{f}$, en función de $v_0$, $r_0$ y $r_\mathrm{f}$.

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  3. Dos hermanos están jugando en un balancín. Calcular la posición en la que hay que colocar el pivote para que se cumplan las condiciones de equilibrio. Datos: $m_\mathrm{niño}=27\ \mathrm{kg}$, $m_\mathrm{niña}=18\ \mathrm{kg}$, $\mathrm{distancia\ entre\ los\ asientos}=3\ \mathrm{m}$.

  4. Una escalera de longitud $L=5\ \mathrm{m}$ está apoyada contra una pared vertical sin rozamiento. El centro de masa de la escalera está en su punto medio. El coeficiente de rozamiento estático entre el suelo y la escalera es $\mu_\mathrm{e}=0.375$. ¿Cuál es la máxima distancia $x$ que puede haber entre el pie de la escalera y la pared para que ésta no deslice?

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  5. Determinar el momento de inercia de un sistema de 4 partículas de igual masa $m$ unidas por varillas de masa despreciable que forman un rectángulo de lados $2a$ y $2b$ respecto a los ejes siguientes:

    1. Respecto al eje que divide el lado $2a$ en dos partes iguales (figura de la izquierda).

    2. Respecto a un eje sobre el lado $2b$ que atraviesa dos de las masas (figura de la derecha).

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  6. Calcule el momento de inercia de una varilla delgada y homogénea de masa $M$ y longitud $L$ respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo.

  7. Una pesa de gimnasio homogénea de acero, cuya densidad es $7\ \mathrm{g/cm}$, tiene la forma de dos esferas macizas unidas por un cilindro macizo. Calcule la masa total de la pesa y su momento de inercia respecto a su eje de simetría. Datos: momento de inercia de un cilindro homogéneo de masa $M$ y radio $R$ respecto a su eje de simetría: $(1/2)MR$; momento de inercia de una esfera homogénea de masa $M$ y radio $R$ respecto a cualquier eje que pase por su centro: $(2/5)MR$.

  8. Calcule el momento de inercia de una placa cuadrada homogénea y muy delgada, de masa $M$ y lado $L$:

    1. Respecto a un eje paralelo a ella que pasa por su centro.
    2. Respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro.

  9. En un momento del decimoprimer episodio de la vigésima temporada de los Simpson, titulado “La conquista del Examen”, el director Skinner se ve en la obligación de rescatar a Ralph, que se encuentra perdido en un barco repleto de basura. Para ello, Skinner salta encima del techo de un contenedor de carga suspendido de un cable que está, inicialmente, en reposo, y comienza a dar vueltas alrededor del eje definido por el cable con una velocidad angular de $2\ \mathrm{rad·s^{-1}}$ en sentido horario y a una distancia de $1.5\ \mathrm{m}$. Skinner tiene $80\ \mathrm{kg}$ de masa, mientras que el contenedor tiene $1000\ \mathrm{kg}$ y sus dimensiones son $5\ \mathrm{m}$ de ancho y $15\ \mathrm{m}$ de largo. ¿En qué sentido y con qué velocidad girará entonces dicho contenedor?

  10. Una máquina de Atwood consta de 2 bloques de masa $m_1$ y $m_2$, con $m_1>m_2$, conectados por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea cuyo eje carece de rozamiento. La polea es un disco uniforme de masa $M$ y radio $R$, y la cuerda no desliza por la polea. Determinar la aceleración lineal de los bloques, la aceleración angular de la polea y las tensiones de la cuerda.

  11. Se ensamblan dos discos uniformes y dos cilindros como se indica en la figura. El disco $A$ tiene una masa $m_\mathrm{A}=10\ \mathrm{kg}$ y un radio $r_\mathrm{A}=0.20\ \mathrm{m}$, mientras que el disco $B$ tiene una masa $m_\mathrm{B}=6\ \mathrm{kg}$ y un radio $r_\mathrm{B}=0.15\ \mathrm{m}$. El cilindro $C$ tiene una masa $m_\mathrm{C}=6\ \mathrm{kg}$ y el cilindro $D$ tiene una masa $m_\mathrm{D}=10\ \mathrm{kg}$. El sistema se libera desde el reposo y los cilindros están unidos a un mismo cable, inextensible y de masa despreciable, que pasa por encima de los discos. No se produce ningún deslizamiento entre el cable y los discos.

    1. Dibuje el diagrama de fuerzas de cada elemento (diagrama de sólido libre).
    2. Calcule la aceleración de los cilindros y el tiempo necesario para que el cilindro $C$ alcance una velocidad de $0.5\ \mathrm{m/s}$.
    3. Obtenga la tensión del cable entre las discos $A$ y $B$.

    Dato: el momento de inercia de un disco de masa $m$ y radio $r$ con respecto a su eje es $(1/2)mr^2$.

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  12. El bloque de masa $m_1=5\ \mathrm{kg}$ se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo $\varphi=10^{\circ}$ y está unido por un cable (inextensible y de masa despreciable) que pasa a través de una polea al bloque de masa $m_3$ que está colgado. La polea es un anillo de masa $m_2=4\ \mathrm{kg}$ y radio $R=0.3\ \mathrm{m}$. El coeficiente de rozamiento, tanto estático como dinámico, entre el bloque y el plano inclinado es $\mu=0.3$. El cable no desliza sobre la polea y el rozamiento producido en el eje de la polea es despreciable.

    1. Calcule la masa $m_3$ mínima para que el bloque de masa $m_1$ comience a deslizar.

    2. Suponiendo que con un valor de $m_3=3\ \mathrm{kg}$ el movimiento se produce, determine la aceleración de los bloques, las tensiones de los tramos del cable, la aceleración angular de la polea y la fuerza que realiza el eje que sujeta la polea sobre ella.

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  13. Una plataforma de masa $M=9\ \mathrm{kg}$ está sobre dos discos homogéneos que ruedan sin deslizar sobre la superficie de contacto, y cuyos ejes se encuentran fijos a sendos soportes sujetos en el suelo, como se muestra en la figura. La masa de cada disco es $m=6\ \mathrm{kg}$ y el radio es $r=0.08\ \mathrm{m}$. Si se aplica una fuerza exterior $F=30\ \mathrm{N}$ a la plataforma y se sabe que el sistema está inicialmente en reposo, determine la velocidad de la plataforma después de que se haya desplazado $0.25\ \mathrm{m}$ sobre los dos discos.

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  14. Una varilla, de $0.8\ \mathrm{m}$ de longitud y masa $0.6\ \mathrm{kg}$, lleva soldada en su extremo una chapa cuadrada de $0.1\ \mathrm{m}$ de lado y $0.8\ \mathrm{kg}$ de masa. La varilla está sujeta al punto $\mathrm{O}$ y puede rotar sin rozamiento alrededor del eje X (ver figura). Se abandona el sistema en la posición $\theta=30^{\circ}$. Se pide:

    1. La distancia de $\mathrm{O}$ a la que se encuentra el centro de masas del conjunto.
    2. El momento de inercia del conjunto respecto de $\mathrm{O}$.
    3. La aceleración angular en función del ángulo $\theta$.
    4. La velocidad angular cuando $\theta=180^{\circ}$.
    5. La fuerza a la que está sometido el eje en el punto $\mathrm{O}$ cuando el sistema pasa por la posición del apartado anterior.

    Datos: momento de inercia de una lámina cuadrada de masa $M$ y lado $a$ respecto a sus ejes de simetría contenidos en el plano de la lámina: $(1/12)Ma^2$ ; momento de inercia de una varilla de masa $M$ y longitud $L$ respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro de masas: $(1/12)ML^2$.

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  15. Una varilla delgada y homogénea de masa $M=2\ \mathrm{kg}$ y longitud $L=1\ \mathrm{m}$ tiene soldada una partícula de masa $m=0.2\ \mathrm{kg}$ a distancia $d=0.75\ \mathrm{m}$ del extremo $\mathrm{O}$, tal y como indica la primera figura. Se sujeta el sistema por su extremo $\mathrm{O}$, y se separa la varilla de la vertical un ángulo $\theta=45^{\circ}$, tal y como se muestra en la segunda figura. En el instante inicial, se libera el sistema en esa posición desde el reposo; la línea de puntos $C$ representa la trayectoria circular de centro $\mathrm{O}$ que va a seguir el centro de masa del sistema (CM) a partir de ese instante. Se pretenden analizar las fuerzas y aceleraciones del sistema en el instante inicial en el que la varilla se libera desde el reposo. Obtenga:

    1. La distancia entre el punto y el centro de masa (CM) del sistema (varilla + partícula).
    2. El momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular a la varilla que pase por O.
    3. Indique la velocidad del centro de masa y su aceleración normal (en el instante inicial).
    4. Realice el diagrama de fuerzas que actúan sobre el sistema, teniendo en cuenta que la normal del eje que sujeta a la varilla en $\mathrm{O}$ puede tener componentes vertical y horizontal. Indique los sentidos positivos elegidos, tanto el de giro como el de los ejes X e Y.
    5. Calcule el momento externo resultante sobre el sistema respecto a $\mathrm{O}$, su aceleración angular y la aceleración tangencial del centro de masa (en el instante inicial). Dibuje el vector aceleración tangencial del centro de masa.
    6. Por último, obtenga la normal del eje en el instante inicial.

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  16. Una varilla homogénea maciza muy delgada de longitud $L=2\ \mathrm{m}$ y masa $m=3\ \mathrm{kg}$ está sujeta tal y como se observa en la figura. El sistema se encuentra, inicialmente, en equilibrio estático. Una vez que se corta el hilo que sujeta el extremo $B$ de la barra, se inicia un movimiento de rotación en torno a $C$. Despreciando el rozamiento, obtenga:

    1. La tensión del hilo y la normal que el eje ejerce sobre la varilla en $C$ justo antes de cortar el hilo.

    2. El momento externo resultante sobre la barra respecto a $C$ justo después de cortar el hilo, que provoca el movimiento de rotación. A la vista del resultado, justifique el sentido de rotación de la barra.

    3. El momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular a la varilla que pasa por $C$.

    4. El módulo, dirección y sentido de la aceleración tangencial del extremo $A$ de la varilla justo después de cortar el hilo.

    5. El módulo de la velocidad con la que llega el extremo $B$ al punto más bajo de su trayectoria.

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