Fuerza constante, trayectoria rectilínea

• Si el desplazamiento entre los extremos inicial y final de una trayectoria rectilínea es $\mathrm{\Delta}\overrightarrow{r}$ y la partícula está sometida a una fuerza constante $\overrightarrow{F}$, el trabajo se define por:

  • Trabajo de una fuerza constante a lo largo de una trayectoria rectilínea: $W^C_{\overrightarrow{F}}=\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$.

    $$ W^C_{\overrightarrow{F}}=F\cdot \mathrm{\Delta }r\cdot \mathrm{cos}\theta =F_{\mathrm{t}}\cdot \mathrm{\Delta }r $$

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    Unidad en el SI de trabajo: Julio, J = N·m.

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    Figura 5.1.

• El trabajo es el producto de la componente de la fuerza tangencial a la trayectoria por el módulo del desplazamiento.

• El trabajo es nulo si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (si la componente tangencial es cero).

Fuerza variable, trayectoria cualquiera

• Si la fuerza es variable o la trayectoria no es rectilínea, se divide la trayectoria en desplazamientos infinitesimales $d\overrightarrow{r}$, suficientemente pequeños como para poder considerar la trayectoria rectilínea y la fuerza constante, y se define el trabajo como la suma (aproximada por una integral) de los trabajos $dW_{\overrightarrow{F}}$ a lo largo de cada $d\overrightarrow{r}$.

  • Trabajo infinitesimal o trabajo elemental: $dW_{\overrightarrow{F}}\mathrm{:}=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=F\cdot dr\cdot \mathrm{cos}\theta =F_{\mathrm{t}}\cdot dr$.

    

    Figura 5.2.

  • Trabajo de $\overrightarrow{F}$ a lo largo de la trayectoria C: $W^C_{\overrightarrow{F}}\mathrm{:}=\int_C{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}$.

• El objeto matemático usado para calcular el trabajo es la integral de línea de un campo vectorial. Resumimos cómo se calculan.

• Las ecuaciones paramétricas de una curva $C$ de extremos $A$ y $B$ se dan mediante un único parámetro $u$ que toma valores en un intervalo $[a,b]$ de la recta real:

  $$ \overrightarrow{r}\mathrm{(}u\mathrm{)\ \ \ con\ \ \ }u\in \mathrm{[}a,b\mathrm{]}\subset \mathbb{R} $$

  $$ {\overrightarrow{r}}_A=\overrightarrow{r}\mathrm{(}a\mathrm{)\ \ ,\ \ }{\overrightarrow{r}}_B=\overrightarrow{r}\mathrm{(}b\mathrm{)} $$

  $$ \frac{d\overrightarrow{r}}{du}\mathrm{\ es\ tangente\ a\ la\ trayectoria} $$

Figura 5.3.

• Para una parametrización dada, al aumentar el valor del parámetro la curva se recorre en un sentido y el vector tangente siempre apunta en dicho sentido. Se dice que la curva está orientada en ese sentido de recorrido:

  $$ \left( \begin{array}{l}

  \mathrm{Integral\ de\ }\overrightarrow{F}\mathrm{\ } \\

  \mathrm{a\ lo\ largo\ de\ }C \end{array}

  \right)=\int_C{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}\mathrm{:}=\int^b_a{\overrightarrow{F}\mathrm{[}\overrightarrow{r}\mathrm{(}u\mathrm{)]}\cdot \frac{d\overrightarrow{r}\mathrm{(}u\mathrm{)}}{du}du} $$

  $$ \mathrm{Simb\textrm{\'{o}}licamente\ escribimos:\ \ \ \ }\boxed{\mathrm{\ }d\overrightarrow{r}=\frac{d\overrightarrow{r}\mathrm{(}u\mathrm{)}}{du}du} $$

Potencia de una fuerza

• Podemos utilizar el tiempo como parámetro para calcular el trabajo:

  $$ d\overrightarrow{r}=\frac{d\overrightarrow{r}\mathrm{(}t\mathrm{)}}{dt}dt=\overrightarrow{v}dt\mathrm{\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ } \begin{array}{l}

  dW_{\overrightarrow{F}}=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\mathrm{(}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}\mathrm{)}dt \\

  W^C_{\overrightarrow{F}}=\int_C{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}=\int^{t_B}_{t_A}{\mathrm{(}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}\mathrm{)}dt} \end{array} $$

• Se define la potencia de la fuerza $\overrightarrow{F}$ como el trabajo que realiza por unidad de tiempo:

  • Potencia de la fuerza $\boldsymbol{\overrightarrow{F}}$: $P_{\overrightarrow{F}}\mathrm{:}=\frac{dW_{\overrightarrow{F}}}{dt}=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$.

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  Unidad en el SI de potencia: Watio, W = J/s.

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• El trabajo se puede reescribir en función de la potencia:

  $$ \begin{array}{l}dW_{\overrightarrow{F}}=P_{\overrightarrow{F}}dt \\ W^C_{\overrightarrow{F}}=\int^{t_B}{t_A}{P{\overrightarrow{F}}dt} \end{array} $$

Trabajo de la fuerza neta (trabajo neto)

• El trabajo es aditivo: si varias fuerzas actúan sobre una partícula, el trabajo de la fuerza neta (trabajo neto) es igual a la suma de los trabajos de cada fuerza (se deduce de la propiedad distributiva del producto escalar).

• Utilizando el tiempo como parámetro y empleando la segunda ley de Newton:

  $$ P_{\mathrm{neta}}={\overrightarrow{F}}_{\mathrm{neta}}\cdot \overrightarrow{v}=m\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\cdot \overrightarrow{v}=m\cdot \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}mv^{\mathrm{2}}\right) $$

• Se define la energía cinética de la partícula, $E_\mathrm{c}$, como:

  $$ E_{\mathrm{c}}\mathrm{:}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}mv^{\mathrm{2}} $$

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  Unidad en el SI de energía: Julio, J.

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