Fuerzas conservativas y energía potencial

• Campo escalar $\boldsymbol{f(\overrightarrow{r})}$: función que asigna una magnitud escalar a cada punto $\overrightarrow{r}$ del espacio.

  • Ejemplo: campo de temperaturas de los puntos de una habitación.

• Campo vectorial $\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\boldsymbol{(}\overrightarrow{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{)}$: función que asigna una magnitud vectorial a cada punto del espacio. Sus componentes se deben transformar como las del vector posición bajo un cambio de coordenadas.

  • En coordenadas cartesianas: $\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{r}\right)=F_x\left(\overrightarrow{r}\right)\hat{i}+F_y\left(\overrightarrow{r}\right)\hat{j}+F_z\left(\overrightarrow{r}\right)\hat{k}$.
  • Ejemplos:
    • Campo de velocidades de los puntos de un cuerpo.
    • Campo de fuerzas (gravitatorias, elásticas, eléctricas, etc.)

• Gradiente de un campo escalar

  $$ \boxed{\mathrm{grad}f\mathrm{:}=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}} $$

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  Es un nuevo campo vectorial.

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  • Su dirección y sentido son aquellos en los que el campo escalar varía más rápidamente con la posición.

• Rotacional de un campo vectorial

  • Significado aproximado: indica la presencia o ausencia de remolinos en la dirección del campo (en realidad, es un poco más complicado que eso).

    $$ \boxed{\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\mathrm{:}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{k}=\left| \begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array} \right|} $$

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    Es un nuevo campo vectorial.

    </aside>

• Una fuerza $\overrightarrow{F}$ es conservativa cuando cumple cualquiera de las siguientes condiciones, que son equivalentes:

  • Para cualquier curva cerrada, el trabajo es nulo: $\oint_C{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}=0$.

  • Existe una función energía potencial $E_{\mathrm{p}}(\overrightarrow{r})$ tal que: $W^C_{\overrightarrow{F}}=\int_C{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}=E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{A}}\mathrm{)}-E{\mathrm{p}}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{B}}\mathrm{)}=-\mathrm{\Delta }E{\mathrm{p}}$.

    Es decir, el trabajo de una fuerza conservativa es independiente del camino y sólo depende de los extremos inicial y final de la curva.

  • $\mathrm{rot}~\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$.

  • Existe una función potencial $E_{\mathrm{p}}(\overrightarrow{r})$ tal que: $\boxed{\overrightarrow{F}=-\mathrm{grad}E_{\mathrm{p}}}$.

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    Fuerza a partir de la energía potencial.

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• Cuando la fuerza es conservativa, se pueden escribir los extremos de la integral de línea en lugar de la curva $C$, ya que no hay ambigüedad:

  $$ \int_C{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}\equiv \int^{{\overrightarrow{r}}B}{{\overrightarrow{r}}A}{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}=E{\mathrm{p}}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}A\mathrm{)}-E{\mathrm{p}}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}B\mathrm{)}=-\mathrm{\Delta }E{\mathrm{p}} $$

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  Para cualquier curva que vaya de A a B.

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• Origen de energía potencial y potencia

  • Existen infinitas funciones energía potencial que se diferencian en una constante. La energía potencial no tiene carácter absoluto, pero sí las diferencias de energía potencial.

  • La constante puede determinarse escogiendo un origen de energía potencial, esto es, el punto en el que la energía potencial es nula:

    $$ E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}_{\mathrm{origen}}\mathrm{)}=0 $$

• Energía potencial a partir de la fuerza: $\int^{{\overrightarrow{r}}{\mathrm{origen}}}{\overrightarrow{r}}{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}=E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}-E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{origen}}\mathrm{)\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ }\boxed{E{\mathrm{p}}\mathrm{(}\overrightarrow{r}\mathrm{)}=\int^{{\overrightarrow{r}}{\mathrm{orige}\mathrm{n}}}{\overrightarrow{r}}{\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}}$.

  • Dado que la integral anterior no depende del camino, puede utilizarse el camino que más convenga en cada caso para determinarla (por ejemplo, una línea recta, una unión de segmentos rectos, etc.).
    • La unidad de energía potencial en el SI es el Julio (J).

• La potencia de una fuerza conservativa es:

  $$ P_{\overrightarrow{F}}=-\frac{dE_{\mathrm{p}}}{dt} $$

Energía potencial gravitatoria en la superficie terrestre

$$ \overrightarrow{P}=-mg\mathrm{\ }\hat{j} $$

$$ \mathrm{rot}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\overrightarrow{P}\mathrm{\ es\ conservativa} $$

$$ W_{\overrightarrow{P}}=-\mathrm{\Delta }E_{\mathrm{pg}} $$

$$ \overrightarrow{P}=-\mathrm{grad}E_{\mathrm{pg}} $$

Figura 5.4.

• La energía potencial gravitatoria en la superficie terrestre, $E_{\mathrm{pg}}$, tiene la forma:

  $$ \begin{array}{l}

  \mathrm{\ \ }E_{\mathrm{pg}}=mgh\mathrm{\ \ } \\

  \mathrm{\ \ }h=y-y_{\mathrm{origen}}\mathrm{\ \ } \end{array} $$

• Donde $\textbf{\textit{y}${}_{origen}$}$ es la altura del origen de energía potencial respecto a la superficie terrestre (eje X).