-
Calculemos el trabajo realizado por fuerzas que cumplen la ley fuerte de acción-reacción.
$$
\left\{ \begin{array}{l}
dW_{\mathrm{12}}={\overrightarrow{F}}{\mathrm{12}}\cdot
d{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}} \\
dW_{\mathrm{21}}={\overrightarrow{F}}{\mathrm{21}}\cdot
d{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}=-{\overrightarrow{F}}{\mathrm{12}}\cdot
d{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}} \end{array}
\right.\Rightarrow
\boxed{dW_{\mathrm{12}}+dW_{\mathrm{21}}={\overrightarrow{F}}{\mathrm{12}}\cdot
d\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}}
$$
Figura 5.6.
-
Estos trabajos, a diferencia de las fuerzas o momentos, en general no son opuestos y su suma no se anula.
-
Pero, si además las partículas cumplen la condición de rigidez (distancia entre partículas constante), entonces los trabajos de acción-reacción sí son opuestos. En efecto:
$$
{\left|{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}\cdot
\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}=\mathrm{cte\
\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \
2(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}\cdot
\frac{d\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}}{dt}=\mathrm{0\
\ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \
(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}\cdot
d\mathrm{(}{\overrightarrow{r}}{\mathrm{2}}-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{1}}\mathrm{)}=0
$$
-
Por tanto:
$$
d\left({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1\right)\bot
{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1
$$
-
Por la ley fuerte de acción y reacción, ${\overrightarrow{F}}_{12}$ es paralelo a ${\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$, por lo que:
$$
d\left({\overrightarrow{r}}2-{\overrightarrow{r}}1\right)\bot
{\overrightarrow{F}}{12}\Rightarrow
{\overrightarrow{F}}{12}d\left({\overrightarrow{r}}2-{\overrightarrow{r}}1\right)=0=dW{\mathrm{12}}+dW{\mathrm{21}}
$$
-
Las fuerzas sobre las partículas del sistema pueden clasificarse en 4 categorías:
-
Aplicando el teorema trabajo-energía cinética a cada partícula:
$$
W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{C,}i}+W^{\mathrm{int}}{\mathrm{C,}i}+W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC,}i}+W^{\mathrm{int}}{\mathrm{NC,}i}=\mathrm{\Delta
}E_{\mathrm{c,}i}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ (}i=\mathrm{1,2,...,}N\mathrm{)}
$$
-
Todos los trabajos sobre un sistema de partículas se definen de forma aditiva, es decir, como la suma de los asociados a cada una de sus partículas.
-
Trabajo externo/interno/total, conservativo/no-conservativo sobre el sistema = suma de los trabajos realizados por las fuerzas externas/internas/totales sobre las partículas:
$$
\boxed{W^{\mathrm{ext}}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{e}\mathrm{xt}}_i}}
$$
$$
\boxed{W^{\mathrm{int}}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{int}}_i}}
$$
$$
\boxed{W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{C}}\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{ext}}_{i\mathrm{,C}}}}
$$
$$
\boxed{W^{\mathrm{int}}{\mathrm{C}}\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{int}}_{i\mathrm{,C}}}}
$$
$$
\boxed{W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC}}\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{ext}}_{i\mathrm{,NC}}}}
$$
$$
\boxed{W^{\mathrm{int}}{\mathrm{NC}}\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{int}}_{i\mathrm{,NC}}}}
$$
-
También se define de forma aditiva la energía cinética total del sistema de partículas, (y, cuando tenga sentido, los distintos tipos de energía potencial total del sistema de partículas):
$$
\boxed{E_{\mathrm{c}}\mathrm{:}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c,}i}}}
$$
$$
\boxed{E^{\mathrm{ext}}{\mathrm{p}}\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{E^{\mathrm{ext}}_{\mathrm{p,}i}}}
$$
$$
\boxed{E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}}\mathrm{:}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{E^{\mathrm{int}}_{\mathrm{p,}i}}}
$$
-
Sumando los teoremas trabajo-energía cinética de todas las partículas:
$$
W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{C}}+W^{\mathrm{int}}{\mathrm{C}}+W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC}}+W^{\mathrm{int}}{\mathrm{NC}}=\mathrm{\Delta
}E_{\mathrm{c}}
$$
$$
\left\{ \begin{array}{l}
W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{C}}=-\mathrm{\Delta
}E^{\mathrm{ext}}{\mathrm{p}} \\
W^{\mathrm{int}}{\mathrm{C}}=-\mathrm{\Delta
}E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}} \end{array}
\right\}
$$
- Teorema trabajo-energía mecánica del sistema: $W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC}}+W^{\mathrm{int}}{\mathrm{NC}}=\mathrm{\Delta
}\mathrm{(}E_{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{ext}}{\mathrm{p}}+E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}}\mathrm{)}$.
- Energía mecánica del sistema: $E\mathrm{:}=E_{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{ext}}{\mathrm{p}}+E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}}$.
-
En general, la suma de los trabajos internos en un sistema de partículas NO es nula. Una excepción es cuando se cumple la condición de rigidez (esto es, en un sólido rígido, en el que las distancias entre las partículas permanecen constantes):
$$
\mathrm{En\ general,\
}W^{\mathrm{int}}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{W^{\mathrm{int}}_i}\neq \mathrm{0\ \ \ \ \ \ \ \ pero\ en\ un\ s\textrm{\'{o}}lido\ r\textrm{\'{i}}gido\
}W^{\mathrm{int}}=0
$$
-
Debido a la condición de rigidez, las fuerzas internas no realizan trabajo. Por consiguiente:
$$
\boxed{W^{\mathrm{ext}}=\mathrm{\Delta }E_{\mathrm{c}}}
$$
-
Las fuerzas internas se pueden considerar conservativas con energía potencial interna igual a cero. La energía total del sólido rígido, por tanto, es:
$$
\boxed{E=E_{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{ext}}_{\mathrm{p}}}
$$
-
El teorema general trabajo-energía mecánica para un sólido rígido en cualquier movimiento (tridimensional o plano) es:
$$
\boxed{W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC}}=\mathrm{\Delta
}E=\mathrm{\Delta
}\mathrm{(}E{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{ext}}_{\mathrm{p}}\mathrm{)}}
$$
<aside>
💡
Para aplicar este teorema, debemos saber calcular la energía cinética del sólido para los distintos movimientos que puede realizar. La energía potencial gravitatoria cerca de la superficie terrestre la sabemos calcular. La energía potencial elástica dependerá de la compresión de un muelle unido a algún punto del sólido, y también la sabemos calcular.
</aside>
