Definición y propiedades del sistema de referencia del centro de masa

• Normalmente en un problema de mecánica se selecciona un sistema de referencia inercial respecto al que se hacen los cálculos. A este sistema de referencia se le llama sistema de referencia del laboratorio (SR-L) y denotaremos su origen por O.

• Respecto al SR-L, el CM de un sistema de partículas tiene una cierta posición $\overrightarrow{r}_{\mathrm{CM}}$.

• Dado un sistema de partículas, se denomina sistema de referencia del CM (SR-CM) a un sistema de referencia cuyos ejes mantienen constantemente su dirección y cuyo origen coincide con el CM del sistema.

• Como el CM puede tener una cierta aceleración respecto del SR-L, el SR-CM es, en general, un sistema no inercial.

• Denotaremos con primas las magnitudes referidas al SR-CM.

• Las posiciones, velocidades y aceleraciones de las partículas en el SR-CM son:

  $$ {\overrightarrow{r'}}_i={\overrightarrow{r}}i-{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\mathrm{\ \ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ \ }{\overrightarrow{v'}}_i={\overrightarrow{v}}i-{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{\ \ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ \ }{\overrightarrow{a'}}_i={\overrightarrow{a}}i-{\overrightarrow{a}}{\mathrm{CM}} $$

  

  Figura 5.8.

• El CM está en reposo en el SR-CM, por lo que:

  $$ \boxed{{\overrightarrow{r'}}{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{0}}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\frac{\mathrm{1}}{M}\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{r'}}i}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{r'}}_i}=\overrightarrow{0}} $$

  $$ \boxed{{\overrightarrow{v'}}{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{0}}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\frac{\mathrm{1}}{M}\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i}=\overrightarrow{0}}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ }\boxed{\mathrm{\ }\overrightarrow{p'}=M{\overrightarrow{v'}}{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{0}} $$

  $$ \boxed{{\overrightarrow{a'}}{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{0}}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\frac{\mathrm{1}}{M}\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{a'}}i}=\overrightarrow{0}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{a'}}_i}=\overrightarrow{0}} $$

  <aside> 💡

  El momento lineal total del sistema en el SR-CM es nulo.

  </aside>

• El momento angular respecto al CM y la energía cinética respecto al CM no son en general cero. A continuación, veremos dos teoremas en relación con dichas magnitudes.

Teoremas de König

• La idea general de los teoremas de König es expresar la energía cinética y el momento angular del sistema de partículas en el SR-L como la suma de dos contribuciones:

  

  Figura 5.9.

  • Demostración del teorema de König del momento angular:

    $$ {\overrightarrow{L}}O=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r}}i\times m_i{\overrightarrow{v}}i}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{\mathrm{(}{\overrightarrow{r'}}i+{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\mathrm{)}\times m_i\mathrm{(}{\overrightarrow{v'}}i+{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{)}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r'}}i\times m_i{\overrightarrow{v'}}i}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r'}}i\times m_i{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\times m_i{\overrightarrow{v'}}i}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\times m_i{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{\overrightarrow{r}}{i\mathrm{/CM}}\times m_i{\overrightarrow{v}}{i\mathrm{/CM}}}+\left(\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{r'}}i}\right)\times {\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}+{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\times \left(\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i}\right)+{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\times \left(\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_i}\right){\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}={\overrightarrow{L}}{\mathrm{CM}}+\overrightarrow{0}\times {\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}+{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\times \overrightarrow{0}+{\overrightarrow{r}}{\mathrm{CM}}\times M{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}} $$

• El momento angular de un sistema de partículas respecto al origen O del SR-L se puede expresar como la suma del momento angular respecto al origen del SR-CM y el momento angular que tendría el CM respecto de O si fuera una partícula de masa M.

  

  Figura 5.10.

• La energía cinética de un sistema de partículas en el SR-L se puede expresar como la suma de la energía cinética en el SR-CM y la energía cinética que tendría el CM respecto de O si fuera una partícula de masa M.

  

  Figura 5.11.

  siendo ${E'}{\mathrm{c}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m_i\mathrm{(}{v'}i{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{{E'}_{\mathrm{c,}i}}$.

  • Demostración del teorema de König de la energía cinética:

    $$ \mathrm{2}E_{\mathrm{c}}=\sum^N_{i=\mathrm{1}}{m_iv^{\mathrm{2}}i}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v}}i\cdot {\overrightarrow{v}}i}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i\mathrm{(}{\overrightarrow{v'}}i+{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{)·(}{\overrightarrow{v'}}i+{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{)}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i\mathrm{·}{\overrightarrow{v'}}i}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i\mathrm{·}{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{·}{\overrightarrow{v'}}i}+\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{·}{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}}=\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i\mathrm{(}{v'}i{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}}+\left(\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i}\right)\mathrm{·}{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}+{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{·}\left(\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i{\overrightarrow{v'}}i}\right)+\left(\sum^N{i=\mathrm{1}}{m_i}\right)v^{\mathrm{2}}{\mathrm{CM}}=\mathrm{2}{E'}{\mathrm{c}}+\overrightarrow{0}\mathrm{·}{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}+{\overrightarrow{v}}{\mathrm{CM}}\mathrm{·}\overrightarrow{0}+Mv^{\mathrm{2}}_{\mathrm{CM}} $$

• Recopilación: tipos de energía de un sistema

• Teoremas generales:

  $$ W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC}}+W^{\mathrm{int}}{\mathrm{NC}}=\mathrm{\Delta }\mathrm{(}E_{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{ext}}{\mathrm{p}}+E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}}\mathrm{)} $$

  $$ E_{\mathrm{c}}={E'}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Mv^{\mathrm{2}}{\mathrm{CM}} $$

• El trabajo no conservativo total es igual a la variación de la energía mecánica total $E$:

  

  Figura 5.12.

• En un sistema en el que las fuerzas internas sean conservativas ($W^{\mathrm{int}}_{\mathrm{NC}}=0$):

  $$ W^{\mathrm{ext}}=\mathrm{\Delta }\mathrm{(}E_{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}}\mathrm{)}=\mathrm{\Delta }E{\mathrm{propia}} $$

  $$ W^{\mathrm{ext}}{\mathrm{NC}}=\mathrm{\Delta}\mathrm{(}E{\mathrm{c}}+E^{\mathrm{ext}}{\mathrm{p}}+E^{\mathrm{int}}{\mathrm{p}}\mathrm{)}=\mathrm{\Delta}E $$

Definición de colisión