Una fuerza $\overrightarrow{F}=F_x\hat{i}$ varía en función de $x$ como se indica en la figura. Determine el trabajo realizado por la fuerza cuando actúa sobre una partícula que se mueve de $x=0$ a $x=6\ \mathrm{m}$.
- Solución
En una carrera de trineos tirados por personas en un lago helado, un corredor, para iniciar la carrera, tira de su trineo (masa total $80\ \mathrm{kg}$) con una fuerza de $180\ \mathrm{N}$ que forma un ángulo de $40^{\circ}$ con la horizontal. Determine, después de un recorrido de $5\ \mathrm{m}$:
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El trabajo realizado sobre el trineo.
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La velocidad final del trineo, suponiendo que parte del reposo y que no existe rozamiento.
- Solución
Calcule el trabajo realizado por la fuerza $\overrightarrow{F}=y^2\hat{i}-x^2\hat{j}$ al trasladar una partícula desde $\mathrm{A(0,1)}$ hasta $\mathrm{B(1,0)}$ a lo largo de la recta $x+y=1$. Todas las magnitudes están dadas en unidades del S.I.
- Solución
Considere el campo vectorial $\overrightarrow{V}=\left(y^2-2z\right)\hat{i}+2xy\hat{j}-2x\hat{k}$.
- Demuestre que $\overrightarrow{V}$ es un campo conservativo.
- Calcule la integral de línea de $\overrightarrow{V}$ desde el punto $\mathrm{A(2,1,0)}$ hasta el punto $\mathrm{B(1,2,0)}$, integrando directamente el campo a lo largo del segmento recto $\mathrm{AB}$. Dado el punto $\mathrm{C(1,1,0)}$, calcule la integral de línea de $\overrightarrow{V}$ siguiendo el camino formado por los segmentos rectos $\mathrm{AC}$ y $\mathrm{CB}$, comprobando que obtiene el mismo valor que a lo largo del segmento recto $\mathrm{AB}$.
- Obtenga el campo escalar $U$ que es potencial de $\overrightarrow{V}$, tomando $\mathrm{O(0,0,0)}$ como origen de potencial.
- ¿Qué sentido tienen el campo escalar $U$ y las integrales de línea calculadas en los apartados b y c si $\overrightarrow{V}$ representa un campo de fuerzas?
- Solución
Una partícula de masa $50\ \mathrm{kg}$ está suspendida de una cuerda de $2\ \mathrm{m}$ de longitud y masa despreciable. Calcule:
- El módulo de la fuerza horizontal que es necesario aplicar a la partícula para mantenerla en equilibrio con la cuerda formando $20^\circ$ con la vertical.
- El trabajo realizado por dicha fuerza al desplazar la partícula desde la posición más baja hasta que la cuerda forma $20^\circ$ con la vertical.
- Solución
Un bloque de $0.3\ \mathrm{kg}$ se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción con una rapidez de $2.5\ \mathrm{m·s^{-1}}$ como se muestra en la figura. El bloque choca sin pérdida de energía con un muelle de masa despreciable cuya constante elástica es de $3000\ \mathrm{N·m^{-1}}$. Calcule:
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La energía mecánica del bloque.
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La energía cinética del bloque cuando el resorte se ha comprimido $1\ \mathrm{cm}$.
- Solución
A la esfera $A$ se le comunica una velocidad descendente de módulo $v$ y describe una trayectoria circular de radio $L=2\ \mathrm{m}$ y centro $\mathrm{O}$.
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Si $\mathrm{AO}$ es una cuerda, halle el valor mínimo de $v$ para el que $A$ describe una circunferencia completa.
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Repita el apartado (a) en el caso de que $\mathrm{AO}$ sea una varilla rígida de masa despreciable.
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Si $\mathrm{AO}$ es una cuerda y la $v=5\ \mathrm{m·s^{-1}}$, halle el ángulo $\theta$ para el que se rompe la cuerda, sabiendo que puede soportar una tensión máxima igual al doble del peso de la esfera.
- Solución
Una varilla circular delgada, de centro $O$ y radio $R=0.3\ \mathrm{m}$, se mantiene en un plano vertical sujeta al punto fijo en $A$. Unido a dicho punto y enrollado holgadamente alrededor de la varilla hay un muelle de constante elástica $k=150\ \mathrm{N·m^{-1}}$ y longitud natural igual al arco de circunferencia $AB$. Un collarín $C$, de masa $m=0.1\ \mathrm{kg}$, que está inicialmente en contacto con el muelle, pero no está unido a él, desliza sin rozamiento a lo largo de la varilla. El collarín se suelta desde el reposo desde una posición en la que comprime el muelle, de forma que los segmentos $OB$ y $OC$ forman un ángulo $\theta=30^{\circ}$. Determine:
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La velocidad del collarín cuando llega al punto $D$.
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La fuerza normal que ejerce la varilla sobre el collarín en el punto $D$, indicando su módulo, dirección y sentido.
- Solución
Un cuerpo de $6\ \mathrm{kg}$ de masa desciende deslizando por un plano inclinado $30^{\circ}$ con respecto a la horizontal. El tramo inclinado tiene una altura de $6\ \mathrm{m}$ y, a continuación, hay un plano horizontal. Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y el plano inclinado es igual a $0.3$, calcule:
- La energía mecánica del cuerpo en el instante inicial.
- La energía perdida en el descenso a causa del rozamiento.
- La velocidad del cuerpo al llegar al final del plano.
- Solución
El muelle de la figura, de constante $k=300\ \mathrm{N·m^{-1}}$ se utiliza para lanzar la bola de masa $m=0.2\ \mathrm{kg}$ por el túnel $\mathrm{AB}$ de longitud $d=0.8\ \mathrm{m}$ y después por el carril circular de radio $R=0.5\ \mathrm{m}$. El muelle se comprime ${\Delta}x=0.13\ \mathrm{m}$ y se suelta. Si la superficie por la que se mueve la bola solo presenta rozamiento en el tramo $\mathrm{AB}$:
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¿Con qué velocidad llega la bola al punto $\mathrm{C}$, sabiendo que en ese punto la bola pierde el contacto con el carril?
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Calcule el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en esa zona y el valor del coeficiente de rozamiento $\mu$.
- Solución
El cilindro de la figura tiene una pesa de masa de $m=50\ \mathrm{kg}$ y un radio $R=0.1\ \mathrm{m}$. La cuerda va enrollada a su generatriz y de su extremo libre cuelga una masa $m=2\ \mathrm{kg}$. Determine:
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La aceleración de la pesa, la aceleración angular del cilindro y la tensión de la cuerda.
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El trabajo realizado por la tensión de la cuerda sobre el cilindro, la energía cinética de éste y la velocidad angular cuando la pesa ha descendido una altura $h=4\ \mathrm{m}$.
- Solución
Un coche de $1500\ \mathrm{kg}$ que va a $70\ \mathrm{km/h}$ alcanza y golpea a otro coche de $2000\ \mathrm{kg}$ que circula en el mismo sentido a $60\ \mathrm{km/h}$. Inmediatamente después de la colisión, la velocidad del coche golpeado es un $10\%$ más alta que antes de la colisión.
- Calcule la velocidad del primer coche inmediatamente después de la colisión y el coeficiente de restitución.
- Durante la colisión, ¿cambia la velocidad del centro de masas del sistema formado por ambos coches?
- Solución
Un petardo está inicialmente en reposo y explota dividiéndose en 3 fragmentos de masas $m_1=2\ \mathrm{kg}$, $m_2=4\ \mathrm{kg}$ y $m_3=1\ \mathrm{kg}$. La velocidad del primer fragmento inmediatamente después de la explosión es ${\overrightarrow{v}}_1=\left(\mathrm{-}\mathrm{2}\hat{i}\mathrm{+}\hat{j}\right)\ \mathrm{m/s}$. La velocidad del segundo fragmento inmediatamente después de la explosión tiene módulo $v_2=5\ \mathrm{m·s^{-1}}$ y forma un ángulo $\theta=30^{\circ}$ con el eje X en sentido antihorario. Determine el vector velocidad del tercer fragmento.
- Solución
Un disco de masa $10\ \mathrm{kg}$ y radio $0.5\ \mathrm{m}$ está en reposo y puede girar en un plano horizontal en torno a un eje perpendicular al mismo y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de $200\ \mathrm{g}$ a una velocidad de $20\ \mathrm{m·s^{-1}}$, en la dirección perpendicular al radio del disco tal y como se muestra en la figura. Determinar:
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La velocidad angular del disco después del disparo.
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El sentido en que gira.
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La variación de energía cinética del sistema.
- Solución
El disco $\mathrm{A}$ de la figura gira con una velocidad angular $\omega_\mathrm{A}$. El disco $\mathrm{B}$, que tiene un momento de inercia tres veces menor que el de $\mathrm{A}$, gira con una velocidad angular $\omega_\mathrm{B}$ en sentido contrario al disco $\mathrm{A}$, siendo $\omega_\mathrm{B}=2\omega_\mathrm{A}$. Se deja caer el disco $\mathrm{B}$ sobre el $\mathrm{A}$ y se comprueba que en el acoplamiento se producen $3087\ \mathrm{J}$ de calor. Calcule las energías cinéticas iniciales de ambos discos, despreciando la diferencia inicial de altura entre los discos.
- Solución
