Sea el siguiente ejemplo: una partícula que desliza sobre una superficie en un campo gravitatorio.
$\boldsymbol{s}$ = posición sobre la trayectoria. Fuerza neta que actúa sobre la partícula depende de $s$. Fuerzas perpendiculares a la trayectoria (normal y componente perpendicular del peso): no realizan trabajo y se anulan, asegurando que el movimiento es unidimensional. Fuerza activa en la dirección de la trayectoria: componente tangencial del peso, $\boldsymbol{F(s)=P_{x}(s)}$.
Figura 6.1.
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Si hubiera rozamiento, habría que sumarlo a $\boldsymbol{F(s)=P_{x}(s)}$, pero la fuerza activa seguiría siendo $\boldsymbol{P_{x}(s)}$, que es la que produce el movimiento.
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Puntos de equilibrio: $\boldsymbol{P_x(s_{eq})=0}$.
Suponemos movimiento unidimensional, ****gobernado por una fuerza activa conservativa dependiente de la posición $\boldsymbol{F_s}$. Hay una energía potencial $\boldsymbol{E_{\mathrm{p}}(s)}$:
$$ dW=Fds=-dE_{\mathrm{p}}\mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{F=-\frac{dE_{\mathrm{p}}}{ds}}\mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\frac{dF}{ds}=-\frac{d^{\mathrm{2}}E_{\mathrm{p}}}{ds^{\mathrm{2}}}} $$
-
Equilibrio de la partícula en $\boldsymbol{s}\boldsymbol{\mathrm{=}}{\boldsymbol{s}}{\boldsymbol{\mathrm{eq}}}
\boldsymbol{\Leftrightarrow }~\boldsymbol{F}\boldsymbol{(}{\boldsymbol{s}}{\boldsymbol{\mathrm{eq}}}\boldsymbol{)=}\boldsymbol{0}~~\boldsymbol{\Leftrightarrow }~{\left(\frac{\boldsymbol{d}{\boldsymbol{E}}{\boldsymbol{\mathrm{p}}}}{\boldsymbol{ds}}\right)}{{\boldsymbol{s}}_{\boldsymbol{\mathrm{eq}}}}~\boldsymbol{=}\boldsymbol{0}$. -
Al producir un pequeño desplazamiento $\boldsymbol{\mathrm{d}s}$ desde $\boldsymbol{s=s_{eq}}$ aparece una fuerza $\boldsymbol{\mathrm{d}F}$ tal que se pueden distinguir las siguientes tres situaciones descritas en la Tabla 6.1:
Tabla 6.1.
Movimiento oscilatorio: movimiento que pasa repetidamente por una posición de equilibrio estable.
Al sistema mecánico que realiza el movimiento oscilatorio se le llama oscilador.
Normalmente se toma como origen de posiciones la posición de equilibrio estable, lo que permite definir $x$ = elongación = desplazamiento sobre la trayectoria desde la posición de equilibrio estable:
$$ \boxed{x=s-s_{\mathrm{eq}}}\mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{x_{\mathrm{eq}}=0} $$
Para pequeñas oscilaciones, podemos desarrollar la fuerza activa y la energía potencial en serie de potencias en torno a la posición de equilibrio estable $x=x_{\mathrm{eq}}=0$.
Desarrollando la fuerza activa en torno a la posición de equilibrio estable en serie de potencias:
$$ F\mathrm{(}x\mathrm{)}=\mathrm{\ \ }F\mathrm{(}x=\mathrm{0)\ \ }+\mathrm{\ \ }{\left(\frac{dF}{dx}\right)}_{x=0}x+... $$
$$ F\mathrm{(}x\mathrm{)}=-kx+\mathrm{...\ \ \ \ \ con\ \ \ \ \ }k=-{\left(\frac{dF}{dx}\right)}_{x=0}>0 $$
donde $F(x=0)=0$ pues es la posición de equilibrio y $(\frac{dF}{dx})_x<0$ pues es estable.
La correspondiente energía potencial, tomando como origen de energía potencial la posición de equilibrio, es (integrando respecto de $x$):
$$ F=-\frac{dE_{\mathrm{p}}}{dx}\Rightarrow E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}x\mathrm{)}=\int^{x_{\mathrm{eq}}=0}_x{Fdx} $$
$$ E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}x\mathrm{)}=\mathrm{\ \ }E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}x=\mathrm{0)\ \ }+\mathrm{\ \ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}kx^{\mathrm{2}}+... $$
$$ E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}x\mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}kx^{\mathrm{2}}\mathrm{+...\ \ \ \ con\ \ \ \ \ }k={\left(\frac{d^{\mathrm{2}}E_{\mathrm{p}}}{dx^{\mathrm{2}}}\right)}_{x=0}>0 $$
donde $E_{\mathrm{p}}(x=0)=0$ por ser la posición de equilibrio.
Muelle ideal sin masa:
- $E_{\mathrm{p}}$ es función cuadrática de la elongación.
Figura 6.2.
- Se cumple la ley de Hooke: $F=-kx$.
Figura 6.3.
Oscilador cualquiera:
- La $E_{\mathrm{p}}$ es aproximadamente cuadrática solo para pequeñas oscilaciones.
Figura 6.4.
- La ley de Hooke solo se cumple de forma aproximada para pequeñas oscilaciones.
Figura 6.5.
