Definición

• Un movimiento oscilatorio unidimensional de una partícula es un movimiento armónico simple (MAS) si:

  • Se conserva la energía mecánica.
  • Las oscilaciones son suficientemente pequeñas.

• Ambas condiciones permiten aproximar la fuerza activa en la dirección de la trayectoria por:

  $$ F=-kx\mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }m\ddot{x}=-kx\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0} $$

• O bien:

  $$ \ddot{x}=-{\omega }^{\mathrm{2}}_0x\mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }\ddot{x}+{\omega }^{\mathrm{2}}_0x=0 $$

  que es la ecuación diferencial del MAS, donde:

  $$ \boxed{{\omega }_0\mathrm{:}=\sqrt{\frac{k}{m}}} $$

  es la frecuencia angular o pulsación.

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  $$ \boxed{\mathrm{Notaci\textrm{\'{o}}n:\ \ \ }\left\{ \begin{array}{l}

  \dot{x}=\frac{dx}{dt} \\

  \ddot{x}=\frac{d^{\mathrm{2}}x}{dt^{\mathrm{2}}} \end{array}

  \right.} $$

  </aside>

• Ejemplo. Frecuencia angular del péndulo simple (pequeñas oscilaciones). Calcule la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones ($\theta<10^{\circ}$) de un péndulo simple, formado por una partícula de masa $m$ unida a un hilo inextensible y sin masa de longitud $L$ **que oscila en un plano vertical:

  

  Figura 6.6.

  • Solución:

    $$ {\omega }^2_0=\frac{g}{L} $$

Cinemática general del MAS

• Posibles formas de escribir la solución general de la ecuación diferencial:

  $$ x=A{\mathrm{sen}\left({\omega}_0t+{\phi}_0\right)} $$

  $$ x=A{\mathrm{cos}\left({\omega}_0t+{\phi}'_0\right)=A{\mathrm{sen} \left({\omega}_0t+{\phi }'_0+\frac{\pi}{2}\right)}} $$

  $$ x=B_1{\mathrm{sen}\left({\omega}_0t\right)}+B_2{\mathrm{cos}\left({\omega}_0t\right)} $$

  donde:

  • $\boldsymbol{A=x_{\mathrm{máx}}}$ = amplitud.
  • $\boldsymbol{\psi }\boldsymbol{=}{\boldsymbol{\omega }}{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{t}\boldsymbol{+}{\boldsymbol{\phi }}{\boldsymbol{0}}$ = fase (sen).
  • ${\boldsymbol{\phi }}_{\boldsymbol{0}}$ = fase inicial (sen).
  • ${\boldsymbol{\psi }}^{\boldsymbol{'}}\boldsymbol{=}{\boldsymbol{\omega }}{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{t}\boldsymbol{+}{\boldsymbol{\phi }}^{\boldsymbol{'}}{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{=}\boldsymbol{\psi }\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{\pi }}{\boldsymbol{2}}$ = fase (cos).
  • ${\boldsymbol{\phi }}^{\boldsymbol{'}}{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{=}{\boldsymbol{\phi }}{\boldsymbol{0}}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{\pi }}{\boldsymbol{2}}$ = fase inicial (cos).

  <aside> 💡

  La fase y la fase inicial son ángulos y se miden en rad en el SI. Por tanto, la unidad en el SI de $\boldsymbol{\omega_0}$ es rad/s.

  En el MAS conviene usar radianes para obtener los resultados correctos (cuidado con la configuración de la calculadora, D o DeG para grados sexagesimales y R o Rad para radianes).

  </aside>

• En la Figura 6.7 se representa la elongación en función del tiempo cuando la fase inicial (sen) es $\boldsymbol{\frac{\pi}{2}}$, por lo que $\boldsymbol{x=Asen\left(\omega_0t+\frac{\pi}{2}\right)}$:

  

  Figura 6.7.

  • Otra forma de verlo: $\boldsymbol{T_0}$ es el tiempo que tarda la fase en variar $\boldsymbol{2\pi}$:

    $$ \psi \mathrm{(}t+T_0\mathrm{)}-\psi \mathrm{(}t\mathrm{)}=\mathrm{2}\pi $$

    $$ {\omega }_0\mathrm{(}t+T_0\mathrm{)}+{\phi }_0-{\omega }_0t-{\phi }_0=\mathrm{2}\pi $$

    $$ \boxed{T_0=\frac{\mathrm{2}\pi }{{\omega }_0}} $$

  • Se define la frecuencia ( $\boldsymbol{f_0}$ ) como el número de oscilaciones por unidad de tiempo:

    $$ \boxed{f_0=\frac{\mathrm{1}}{T_0}=\frac{{\omega }_0}{\mathrm{2}\pi }} $$

    <aside> 💡

    Unidad en el SI de la frecuencia: hertzio (Hz): $\boldsymbol{\mathrm{Hz=s^{-1}}}$.

    </aside>

• La velocidad viene dada por:

  $$ \dot{x}={\omega }_0A\mathrm{cos}\left({\omega }_0t+{\phi }_0\right)={\omega }_0A\mathrm{sen}\left({\omega }_0t+{\phi }_0+\frac{\pi }{\mathrm{2}}\right) $$

  <aside> 💡

  La velocidad se desfasa cuarto de ciclo respecto a la elongación.

  </aside>

• La aceleración viene dada por:

  $$ \ddot{x}=-{\omega }^{\mathrm{2}}_0x=-{\omega }^{\mathrm{2}}_0A\mathrm{sen}\left({\omega }_0t+{\phi }_0\right)={\omega }^{\mathrm{2}}_0A\mathrm{sen}\left({\omega }_0t+{\phi }_0+\pi \right) $$

  <aside> 💡

  La aceleración se desfasa medio ciclo respecto a la elongación.

  </aside>

Figura 6.8.

Energías en el MAS

• Energía potencial:

  $$ \boxed{E_{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}kx^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\omega }^{\mathrm{2}}_0x^{\mathrm{2}}} $$

  $$ E_{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\omega }^{\mathrm{2}}_0x^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\omega }^{\mathrm{2}}_0A^{\mathrm{2}}\mathrm{se}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left({\omega }_0t+{\phi }_0\right) $$

  donde se ha usado que $k=m{\omega }^{\mathrm{2}}_0$.

  <aside> 💡

  La condición $\textit{dE}/\textit{dt}=0$ puede usarse también para obtener la ecuación diferencial del movimiento.

  </aside>

• La energía mecánica se conserva:

  $$ \boxed{\mathrm{cte}=E=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\dot{x}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}kx^{\mathrm{2}}} $$

  

  Figura 6.9.

• Luego la energía mecánica total se puede expresar como:

  $$ E=E_{\mathrm{p,m\textrm{\'{a}}x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}kA^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\omega }^{\mathrm{2}}_0A^{\mathrm{2}} $$

• Y la energía cinética como:

  $$ E_{\mathrm{c}}=E-E_{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\omega }^{\mathrm{2}}_0\mathrm{(}A^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}\mathrm{)} $$

  $$ E_{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\dot{x}}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\omega }^{\mathrm{2}}_0A^{\mathrm{2}}\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left({\omega }_0t+{\phi }_0\right) $$

  

  Figura 6.10.

• En la Figura 6.11 se representan tanto la elongación como las energías potencial y cinética en función del tiempo, siendo la fase inicial (sen) igual a $\boldsymbol{\frac{\pi}{2}}$, por lo que $\boldsymbol{x=Asen\left(\omega_0t+\frac{\pi}{2}\right)}$:

  

  Figura 6.11.

• En resumen:

  

  Figura 6.12.