En un oscilador real, el rozamiento disipa energía, y el movimiento resultante se llama movimiento oscilatorio amortiguado.
Hay distintos tipos de rozamiento:
- Rozamiento con una superficie (“rozamiento seco”). A velocidades bajas, es proporcional a la normal de contacto.
- Rozamiento con el fluido (líquido o gas) que rodea al oscilador (“rozamiento viscoso”). A velocidades bajas, es proporcional a la velocidad.
A partir de ahora, supondremos que el oscilador está sometido a una fuerza de rozamiento viscoso (oscilaciones linealmente amortiguadas):
$$ \boxed{F_{\mathrm{r}}=-\lambda \dot{x}} $$
siendo $\boldsymbol{\lambda}$ = constante de amortiguamiento.
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A mayor $\boldsymbol{\lambda}$, mayor amortiguamiento. Unidad en el SI de $\boldsymbol{\lambda}$: $\mathrm{kg/s=N·s/m}$.
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Oscilador armónico amortiguado linealmente:
Si a un MAS se le añade una fuerza de rozamiento viscoso, se obtiene:
$$ -kx-\lambda \dot{x}=m\ddot{x}\mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \ }\ddot{x}+\frac{\lambda }{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0 $$
siendo $\boldsymbol{\omega_0}$ la frecuencia angular “natural” (la que tendría si no estuviera amortiguado):
$$ \frac{k}{m}={\omega }^{\mathrm{2}}_0 $$
- Definición de coeficiente de amortiguamiento:
$$ \boxed{\gamma \mathrm{:}=\frac{\lambda }{\mathrm{2}m}} $$
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A mayor $\boldsymbol{\gamma}$, mayor amortiguamiento. Unidad en el SI de $\boldsymbol{\gamma}$: $\mathrm{s^{-1}}$.
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Ecuación diferencial de un MAS amortiguado linealmente:
$$ \boxed{\ddot{x}+\mathrm{2}\gamma \dot{x}+{\omega }^{\mathrm{2}}_0x=0} $$
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La naturaleza de las soluciones depende de la relación que exista entre ${\gamma}$ y $\omega_0$.
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3 casos:
- Sobreamortiguamiento ($\gamma>\omega_0$).
- Amortiguamiento crítico ($\gamma=\omega_0$).
- Subamortiguamiento ($\gamma<\omega_0$).
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Aclaración: ${\gamma}$ y $\omega_0$ pueden compararse entre ellos porque tienen las mismas dimensiones. Esto se debe a que el radián es adimensional: $\mathrm{1\ rad}=\frac{\mathrm{arco\ de\ circunferencia\ igual\ a\ su\ radio}}{\mathrm{radio\ de\ la\ circunferencia}}=\mathrm{1}$.
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Caso 1, sobreamortiguado ($\gamma>\omega_0$):
$$ x=C_{\mathrm{1}}e^{-\left(\gamma +\sqrt{{\gamma }^{\mathrm{2}}-{\omega }^{\mathrm{2}}0}\right)\mathrm{·}t}+C{\mathrm{2}}e^{-\left(\gamma -\sqrt{{\gamma }^{\mathrm{2}}-{\omega }^{\mathrm{2}}0}\right)\mathrm{·}t}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }C{\mathrm{1}},C_{\mathrm{2}}=\mathrm{constantes} $$
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Movimiento no oscilatorio (exponencial decreciente).
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La partícula se aproxima asintóticamente a la posición de equilibrio.
Figura 6.15.
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Caso 2, críticamente amortiguado ($\gamma=\omega_0$):
$$ x=\mathrm{(}D_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{2}}t\mathrm{)}e^{-\gamma t}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }D_{\mathrm{1}},D_{\mathrm{2}}=\mathrm{constantes} $$
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Movimiento no oscilatorio.
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La partícula se aproxima asintóticamente a la posición de equilibrio directamente o tras sobrepasarla una sola vez.
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Para una frecuencia natural dada, el amortiguamiento crítico es el caso en el que el oscilador se aproxima más rápidamente a la posición de equilibrio. Aplicación: amortiguadores de vehículos.
Figura 6.16.
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Caso 3, subamortiguado ($\gamma<\omega_0$):
$$ \mathrm{\ \ }x=A_0e^{-\gamma t}\mathrm{sen(}{\omega }_{\mathrm{1}}t+{\phi }_0\mathrm{)\ \ } $$
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Frecuencia angular del oscilador subamortiguado:
$$ \boxed{{\omega }_{\mathrm{1}}=\sqrt{{\omega }^{\mathrm{2}}_0-{\gamma }^{\mathrm{2}}}} $$
$$ {\omega }_{\mathrm{1}}<{\omega }_0 $$
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“Amplitud” del oscilador subamortiguado (disminuye exponencialmente con el tiempo):
$$ \boxed{A_{\gamma }=A_0e^{-\gamma t}} $$
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Período del oscilador subamortiguado:
$$ \boxed{T_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\pi }{{\omega }_{\mathrm{1}}}} $$
$$ T_{\mathrm{1}}>T_0 $$
Las oscilaciones subamortiguadas tienen mayor periodo que las oscilaciones libres.
Figura 6.17.
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