-
Las oscilaciones reales están siempre amortiguadas, alcanzándose finalmente la posición de equilibrio estable.
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Para mantener la oscilación es necesario aplicar al sistema una fuerza impulsora que aporte la energía que se disipa con el amortiguamiento.
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Estudiaremos el comportamiento de un oscilador sometido a una fuerza de rozamiento viscosa (supondremos que es subamortiguado) y a una fuerza impulsora armónica:
$$
\boxed{F_{\mathrm{imp}}=F_0\mathrm{cos(}{\omega
}_{\mathrm{f}}t\mathrm{)}}
$$
- $\boldsymbol{F_0}$ = “amplitud” de la fuerza impulsora.
- $\boldsymbol{\omega_0}$ = frecuencia (angular) impulsora ( $\boldsymbol{\omega_f\neq\omega_0}$ ).
-
La ecuación diferencial se obtiene añadiendo la fuerza impulsora a la del oscilador amortiguado linealmente:
$$
-kx-\lambda \dot{x}+F_0\mathrm{cos(}{\omega
}_{\mathrm{f}}t\mathrm{)}=m\ddot{x}\mathrm{\ \ \ }\Leftrightarrow \mathrm{\ \ \
}\boxed{\ddot{x}+\mathrm{2}\gamma \dot{x}+{\omega
}^{\mathrm{2}}0x=\frac{F_0}{m}\mathrm{cos(}{\omega }{\mathrm{f}}t\mathrm{)}}
$$
que es la Ecuación diferencial del oscilador forzado y amortiguado linealmente.
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La solución general de la ecuación diferencial es la suma de dos términos:
Figura 6.18.
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Las constantes $A$ y $\alpha$ se obtienen sustituyendo el término estacionario en la ecuación diferencial y operando.
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Las constantes $A_0$ y $\phi_0$ se obtienen a partir de las condiciones iniciales.
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El sistema pasa por un régimen “transitorio” en el que la oscilación no es armónica, y cuando ha pasado un tiempo muy largo ($t\upuparrows$) la solución es igual al término estacionario:
$$
t\uparrow\uparrow\mathrm{\ \ \
}\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }x=A\mathrm{sen(}{\omega}_{\mathrm{f}}t-\alpha\mathrm{)}
$$
Figura 6.19.
-
A partir de ahora nos centraremos en el estudio del término estacionario.
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La amplitud del término estacionario es:
$$
\boxed{A=\frac{F_0\mathrm{/}m}{\sqrt{{\left({\omega
}^{\mathrm{2}}_{\mathrm{f}}-{\omega
}^{\mathrm{2}}0\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}\gamma {\omega
}{\mathrm{f}}\right)}^{\mathrm{2}}}}}
$$
-
Vemos que la amplitud depende de la frecuencia impulsora.
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El valor de la frecuencia impulsora para el cual la amplitud es máxima se denomina frecuencia de resonancia en amplitud ($\omega_\mathrm{A}$). Se obtiene fácilmente minimizando el cuadrado del denominador de la fórmula de A:
$$
\boxed{\omega_\mathrm{A}=\sqrt{\omega
^2_0-2\gamma^2}}
$$
que es la frecuencia de resonancia en amplitud, la cual disminuye al aumentar el amortiguamiento. La amplitud a la frecuencia de resonancia en amplitud es:
$$
A_{\mathrm{resonancia}}=A\mathrm{(}{\omega
}{\mathrm{f}}={\omega }{\mathrm{A}}\mathrm{)}=\frac{F_0}{\mathrm{2}m\gamma
\sqrt{{\omega }^{\mathrm{2}}_0-{\gamma }^{\mathrm{2}}}}
$$
- Si el amortiguamiento desaparece ( $\gamma\to0$ ), entonces:
- $\boldsymbol{\omega_A\to\omega_0}$ (frecuencia del pico tiende a $\omega_0$).
- $A_\mathrm{resonancia}\to\infty$ (“catástrofe de la resonancia”).
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Curvas de resonancia en amplitud:
-
Representan la amplitud en función de la frecuencia impulsora.
Figura 6.20.
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Para crear la figura se han representado las magnitudes adimensionales:
$$
\frac{A}{A\mathrm{(}{\omega
}{\mathrm{f}}=\mathrm{0)}}\mathrm{\ \ \ \ \ frente\ a\ \ \ \ \ }\frac{{\omega
}{\mathrm{f}}}{{\omega }_0}
$$
$$
\mathrm{donde\ \ \ \ \ }A\mathrm{(}{\omega
}_{\mathrm{f}}=\mathrm{0)}=\frac{F_0}{m{\omega }^{\mathrm{2}}_0}
$$
Figura 6.21.
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La resonancia no es buena ni mala de por sí.
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Para algunas aplicaciones (por ejemplo, sintonizadores de radio) se busca la situación de resonancia.
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Para otras situaciones, puede ser indeseada, como por ejemplo en la destrucción del puente de Tacoma-Narrows:
https://www.youtube.com/watch?v=jPGXKun_7G4