En un motor, un pistón oscila con movimiento armónico simple, de modo que su elongación varía con el tiempo de acuerdo con la expresión $x=(5\ \mathrm{cm})\times{\mathrm{cos}}[(2\ \mathrm{rad/s})\times{t}+π/6]$.
- Calcule la elongación del pistón, su velocidad y su aceleración en $t=0$.
- Encuentre el periodo y la amplitud del movimiento.
- Solución
Un pequeño cuerpo de masa $m=0.1\ \mathrm{kg}$ pende de un muelle vertical que tiene una constante elástica $k=50\ \mathrm{N·m^{-1}}$. Cuando el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio, la longitud del muelle es $l=7\ \mathrm{cm}$.
- Calcule la longitud natural $l$ del muelle.
- Se tira del cuerpo hacia abajo hasta que la longitud del muelle es de $l=9\ \mathrm{cm}$ y se libera. Halle la ecuación de la elongación de las oscilaciones armónicas resultantes.
- Solución
Una partícula de masa $m=500\ \mathrm{g}$ realiza un movimiento armónico simple de período $T=0.5\ \mathrm{s}$ y su energía total es de $5\ \mathrm{J}$. Calcule:
- La amplitud de la oscilación.
- Su velocidad máxima.
- La energía cinética cuando la elongación sea la mitad de la amplitud.
- Solución
Una varilla delgada y homogénea de masa $m$ y longitud $L=0.8\ \mathrm{m}$ está suspendida de un pivote sin rozamiento por uno de sus extremos (O). En una posición arbitraria, el ángulo que forma la varilla con la vertical es $\theta$. El momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por el pivote (O) es $I_\mathrm{O}=mL^2/3$. En $t=0$ se impulsa la varilla desde la posición $\theta_0=2^{\circ}$ hacia su posición de equilibrio con una velocidad angular $–0.363\ \mathrm{rad/s}$.
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Determine su frecuencia angular natural de oscilación para ángulos $\theta$ pequeños.
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Calcule la elongación $\theta$ en función del tiempo.
- Solución
Un objeto de $10.6\ \mathrm{kg}$ oscila en el extremo de un resorte vertical de constante elástica $2.05\times10^4\ \mathrm{N·m^{-1}}$. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante la constante de amortiguamiento cuyo valor es $3\ \mathrm{N·s·m^{-1}}$. Calcule:
- La frecuencia de la oscilación amortiguada.
- El porcentaje que disminuye la amplitud de la oscilación en cada ciclo.
- Solución
Una partícula de masa $0.1\ \mathrm{kg}$ unida a un muelle vertical realiza un movimiento oscilatorio armónico linealmente subamortiguado. La amplitud en el instante inicial es de $0.0482\ \mathrm{m}$ y, tras un periodo, la amplitud es de $0.0427\ \mathrm{m}$. Si la frecuencia de la oscilación subamortiguada es de $10\ \mathrm{Hz}$:
- Obtenga el coeficiente de amortiguamiento.
- Calcule la constante elástica del muelle.
- Si se añade una fuerza impulsora que varía de forma cosenoidal con el tiempo, ¿qué frecuencia angular debe tener para que la amplitud de oscilación sea máxima en régimen estacionario?
- Solución
Un oscilador mecánico de masa $1.5\ \mathrm{kg}$ se mueve sin rozamiento con un movimiento armónico simple de frecuencia angular $3\ \mathrm{rad·s}$. La posición del objeto para $t=0\ \mathrm{s}$ es $0.085\ \mathrm{m}$ respecto de la posición de equilibrio, y su velocidad en ese instante es $–0.20\ \mathrm{m·s^{-1}}$. A continuación, se introduce el sistema en un medio viscoso que ofrece una resistencia tal que la amplitud se reduce a la tercera parte en $3\ \mathrm{s}$. Para conseguir que el sistema oscile con una amplitud constante e igual a la inicial, se aplica una fuerza externa impulsora $F=F_0\mathrm{cos}(\omega_\mathrm{f}t)$, existiendo resonancia en la amplitud.
- Determine la elongación en función del tiempo antes de introducir el sistema en el medio viscoso.
- Calcule el coeficiente de amortiguamiento tras introducirlo en el medio viscoso.
- Determine la frecuencia angular de la fuerza externa impulsora y su valor máximo.
- Solución
Un sistema consiste en una partícula de masa $m=0.3\ \mathrm{kg}$ sujeta a un muelle de constante elástica $k=200\ \mathrm{N·m^{-1}}$. La partícula es un oscilador armónico amortiguado linealmente y de tipo subamortiguado con un coeficiente de amortiguamiento de $0.05164\ \mathrm{s^{-1}}$. Se añade al sistema una fuerza externa oscilante con una frecuencia igual a la de resonancia en la velocidad del sistema. En régimen estacionario, la amplitud de las oscilaciones forzadas es de $0.2\ \mathrm{m}$. Obtenga el valor máximo de la fuerza impulsora.
- Solución
Se tiene un muelle vertical de constante elástica $k=25\ \mathrm{N/m}$ y longitud natural $l_0=4\ \mathrm{cm}$ y dos cuerpos de masas $m$ y $M$. Se realizan dos experiencias: una estática y otra dinámica.
En la experiencia estática, se cuelgan primero los dos cuerpos a la vez y se mide la longitud del muelle en la posición de equilibrio estable, obteniéndose $l_{eq,1}=9.1\ \mathrm{cm}$. Después, se retira el cuerpo de masa $m$ y se mide la longitud del muelle en la nueva posición de equilibrio estable, obteniéndose $l_{eq,2}=7.9\ \mathrm{cm}$.
En la experiencia dinámica, se cuelgan primero los dos cuerpos y se sitúa el sistema en la posición de equilibrio estable ($l_{eq,1}$). En el instante $t=0$, se retira el cuerpo de masa $m$ y, desde esa posición y en reposo, se deja al cuerpo de masa $M$ oscilar en torno a la nueva posición de equilibrio estable ($l_{eq,2}$) de forma subamortiguada con una constante de amortiguamiento $0.126\ \mathrm{kg/s}$.
Posteriormente, para evitar que se detenga el movimiento, se quiere forzar al sistema mediante una fuerza impulsora armónica con el tiempo tal que, en régimen estacionario, la amplitud sea igual a $1.2\ \mathrm{cm}$ y haya resonancia en velocidad.
- Experiencia estática: calcule el valor de las masas desconocidas $m$ y $M$.
- Experiencia dinámica subamortiguada sin forzar: calcule el tiempo que tarda la amplitud de oscilación en reducirse a la mitad.
- Experiencia dinámica subamortiguada sin forzar: calcule la elongación del cuerpo de masa $M$ en función del tiempo, $x(t)$. Indique el sentido positivo elegido del movimiento.
- Experiencia dinámica subamortiguada forzada: determine la expresión matemática de la fuerza impulsora que satisface los requisitos mencionados.
- Solución
