Ecuación diferencial de onda: es toda ecuación diferencial que rige un fenómeno que desde el punto de vista físico pueda considerarse ondulatorio. Suelen ser ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden hiperbólicas.
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Un gran número de fenómenos ondulatorios que ocurren en ausencia de dispersión y absorción (disipación de energía) están regidos por la expresión siguiente, llamada “ecuación de ondas” (válida para cualquier geometría del frente de ondas):
$$ \boxed{\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial y^{\mathrm{2}}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial z^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{v^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial t^{\mathrm{2}}}} $$
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Donde $u(x,y,z,t)$ representa la perturbación de la magnitud física (puede ser escalar o vectorial) y $v$ se denomina velocidad de propagación de la onda.
Función de onda es toda solución de una ecuación diferencial de onda.
Principio de superposición: como la ecuación diferencial de onda es lineal, cualquier combinación lineal de funciones de onda es otra función de onda. Si a un punto llegan dos perturbaciones diferentes, la perturbación resultante es igual a la suma de las perturbaciones.
Estudiaremos ahora ondas planas en 1D. Su ecuación diferencial es:
$$ \boxed{\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{v^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial t^{\mathrm{2}}}} $$
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Solución general de ondas planas (Solución de D’Alembert):
$$ \boxed{u\mathrm{(}x,t\mathrm{)}=f\mathrm{(}x-vt\mathrm{)}+g\mathrm{(}x+vt\mathrm{)}} $$
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La función f, cuyo argumento tiene un signo negativo, representa una onda que se propaga en el sentido positivo del eje X.
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La función g, cuyo argumento tiene un signo positivo, representa una onda que se propaga en el sentido negativo del eje X.
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En ambos casos la propagación ocurre sin deformación.
Figura 7.8. Traslación de una función sin deformación (Alonso-Finn).
