Onda armónica: es toda aquella proporcional al seno o coseno de una función afín de $x\ {\pm}\ vt$.
Se puede expresar de diferentes maneras y depende de tres constantes $u_{0}$, $k$ y $\phi$:
$$ u(x,t)=u_0{\boldsymbol{\mathrm{sen}} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{x}\boldsymbol{\mp}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{)}+{\phi }_1]} $$
$$ u(x,t)=u_0{\boldsymbol{sen} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{\mp}\boldsymbol{x}\boldsymbol{)}+{\phi }_2]} $$
$$ u\left(x,t\right)=u_0{\boldsymbol{\mathrm{cos}} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{x}\boldsymbol{\mp}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{)}+{\phi }_3]} $$
$$ u(x,t)=u_0{\boldsymbol{cos} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{\mp }\boldsymbol{x}\boldsymbol{)}+{\phi }_4]} $$
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Recordar: signo ($-$) para ondas que se propagan en sentido positivo.
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Tabla 7.1.
Estudiemos por ejemplo una onda en sentido +X escrita como:
$$ u\mathrm{(}x,t\mathrm{)}=u_0\mathrm{sen(}\omega t-kx+\phi \mathrm{)} $$
Las ondas armónicas son doblemente periódicas (en el espacio y en el tiempo).
En un punto $x$ fijo, la función es periódica en el tiempo con periodo $\boldsymbol{T}$. Para $x$ fijo, dos instantes $t_{0}$ y $t_{0}+T$ tienen una diferencia de fase de $2\pi$:
$$ \mathrm{fase}=\psi \mathrm{(}x,t\mathrm{)}=\omega t-kx+\phi $$
$$ \psi \mathrm{(}x,t_0+T\mathrm{)}-\psi \mathrm{(}x,t_0\mathrm{)}=\mathrm{2}\pi $$
$$ \left(\omega \mathrm{(}t_0+T\mathrm{)}-kx+\phi \right)-\left(\omega t_0-kx+\phi \right)=\mathrm{2}\pi \mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{T=\frac{\mathrm{2}\pi }{\omega }} $$
Figura 7.10.
Frecuencia: Es el nº de oscilaciones (periodos completos de la fase en un punto dado del espacio) por unidad de tiempo. Unidad en el S.I., el Hercio (Hz):
$$ \boxed{f={\mathrm{1}}/{T}} $$
En un instante $t$ fijo, la función es periódica en el espacio con un periodo $\boldsymbol{\lambda}$ ****que se llama longitud de onda. Para $t$ fijo, la fase del punto $x_{0}$ va adelantada $2\pi$ respecto a la fase del punto $x_{0}+\lambda$ **(porque le llega antes la perturbación):
$$ \psi\mathrm{(}x_0,t\mathrm{)}-\psi \mathrm{(}x_0+\lambda ,t\mathrm{)}=\mathrm{2}\pi $$
$$ \left(\omega t-kx_0+\phi \right)-\left(\omega t-k\mathrm{(}x_0+\lambda \mathrm{)}+\phi\right)=\mathrm{2}\pi \mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\lambda =\frac{\mathrm{2}\pi }{k}} $$
Figura 7.11.
Velocidad de propagación: también llamada velocidad de fase, ya que los puntos que están en el mismo estado de perturbación tienen igual valor de la fase:
$$ \boxed{v_{\mathrm{p}}=v=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda }{T}} $$
El interés de las ondas armónicas radica en que las ondas pueden expresarse como una suma de ondas armónicas, ya sea una suma discreta (serie de Fourier, ondas periódicas) o una “suma continua” (integral) (transformada de Fourier, ondas aperiódicas).
Esta descomposición recibe el nombre de descomposición espectral. El conjunto de frecuencias que contiene la onda se denomina su espectro.
Se puede llevar a cabo de forma física, como por ejemplo descomponiendo luz blanca (onda electromagnética) con un prisma:
Figura 7.12.
Otro ejemplo: la misma nota producida por diferentes instrumentos musicales está compuesta de sonidos de diferentes frecuencias (timbre del instrumento):
Figura 7.13.
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Repasa con JoVE:
https://app.jove.com/es/embed/player?id=12775&access=9b38d58955&t=1&s=1&fpv=1
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Repasa con JoVE:
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Materiales preparados por Luis Fernando Hevia de los Mozos, Daniel Lozano Martín y Susana Villa Vallejo. Publicados bajo licencia Creative Commons 4.0. International, BY NC. Esta licencia requiere que cites al creador de los contenidos si los compartes o reutilizas. Puedes distribuir, remezclar, adaptar y crear a partir del material en cualquier medio o formato, solo para fines NO comerciales.
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