• Onda armónica: es toda aquella proporcional al seno o coseno de una función afín de $x\ {\pm}\ vt$.

• Se puede expresar de diferentes maneras y depende de tres constantes $u_{0}$, $k$ y $\phi$:

  $$ u(x,t)=u_0{\boldsymbol{\mathrm{sen}} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{x}\boldsymbol{\mp}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{)}+{\phi }_1]} $$

  $$ u(x,t)=u_0{\boldsymbol{sen} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{\mp}\boldsymbol{x}\boldsymbol{)}+{\phi }_2]} $$

  $$ u\left(x,t\right)=u_0{\boldsymbol{\mathrm{cos}} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{x}\boldsymbol{\mp}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{)}+{\phi }_3]} $$

  $$ u(x,t)=u_0{\boldsymbol{cos} [\boldsymbol{k}\boldsymbol{(}\boldsymbol{vt}\boldsymbol{\mp }\boldsymbol{x}\boldsymbol{)}+{\phi }_4]} $$

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  Recordar: signo ($-$) para ondas que se propagan en sentido positivo.

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Tabla 7.1.

• Estudiemos por ejemplo una onda en sentido +X escrita como:

  $$ u\mathrm{(}x,t\mathrm{)}=u_0\mathrm{sen(}\omega t-kx+\phi \mathrm{)} $$

  • Las ondas armónicas son doblemente periódicas (en el espacio y en el tiempo).

  • En un punto $x$ fijo, la función es periódica en el tiempo con periodo $\boldsymbol{T}$. Para $x$ fijo, dos instantes $t_{0}$ y $t_{0}+T$ tienen una diferencia de fase de $2\pi$:

    $$ \mathrm{fase}=\psi \mathrm{(}x,t\mathrm{)}=\omega t-kx+\phi $$

    $$ \psi \mathrm{(}x,t_0+T\mathrm{)}-\psi \mathrm{(}x,t_0\mathrm{)}=\mathrm{2}\pi $$

    $$ \left(\omega \mathrm{(}t_0+T\mathrm{)}-kx+\phi \right)-\left(\omega t_0-kx+\phi \right)=\mathrm{2}\pi \mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{T=\frac{\mathrm{2}\pi }{\omega }} $$

  

  Figura 7.10.

  • Frecuencia: Es el nº de oscilaciones (periodos completos de la fase en un punto dado del espacio) por unidad de tiempo. Unidad en el S.I., el Hercio (Hz):

    $$ \boxed{f={\mathrm{1}}/{T}} $$

  • En un instante $t$ fijo, la función es periódica en el espacio con un periodo $\boldsymbol{\lambda}$ ****que se llama longitud de onda. Para $t$ fijo, la fase del punto $x_{0}$ va adelantada $2\pi$ respecto a la fase del punto $x_{0}+\lambda$ **(porque le llega antes la perturbación):

    $$ \psi\mathrm{(}x_0,t\mathrm{)}-\psi \mathrm{(}x_0+\lambda ,t\mathrm{)}=\mathrm{2}\pi $$

    $$ \left(\omega t-kx_0+\phi \right)-\left(\omega t-k\mathrm{(}x_0+\lambda \mathrm{)}+\phi\right)=\mathrm{2}\pi \mathrm{\ \ \ }\Rightarrow \mathrm{\ \ \ }\boxed{\lambda =\frac{\mathrm{2}\pi }{k}} $$

    

    Figura 7.11.

  • Velocidad de propagación: también llamada velocidad de fase, ya que los puntos que están en el mismo estado de perturbación tienen igual valor de la fase:

    $$ \boxed{v_{\mathrm{p}}=v=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda }{T}} $$

• El interés de las ondas armónicas radica en que las ondas pueden expresarse como una suma de ondas armónicas, ya sea una suma discreta (serie de Fourier, ondas periódicas) o una “suma continua” (integral) (transformada de Fourier, ondas aperiódicas).

• Esta descomposición recibe el nombre de descomposición espectral. El conjunto de frecuencias que contiene la onda se denomina su espectro.

  • Se puede llevar a cabo de forma física, como por ejemplo descomponiendo luz blanca (onda electromagnética) con un prisma:

    

    Figura 7.12.

  • Otro ejemplo: la misma nota producida por diferentes instrumentos musicales está compuesta de sonidos de diferentes frecuencias (timbre del instrumento):

    

    Figura 7.13.

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Materiales preparados por Luis Fernando Hevia de los Mozos, Daniel Lozano Martín y Susana Villa Vallejo. Publicados bajo licencia Creative Commons 4.0. International, BY NC. Esta licencia requiere que cites al creador de los contenidos si los compartes o reutilizas. Puedes distribuir, remezclar, adaptar y crear a partir del material en cualquier medio o formato, solo para fines NO comerciales.

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