Hemos visto que una onda de la forma $u\left(x,t\right)=f(x-vt)$ representa una onda que se propaga en la dirección del eje X.
Si la onda se extiende al espacio tridimensional, en un tiempo fijo $t$ la función toma el mismo valor en todos los puntos que tienen la misma $x$. Así pues, los planos $x=\mathrm{cte}$ forman los frentes de ondas: es una onda plana.
- Ecuación de los frentes de ondas: $x=\ \overrightarrow{r}\cdot \hat{i}=\mathrm{cte}$.
- Función de onda: $u\mathrm{(}\overrightarrow{r},t\mathrm{)}=f\mathrm{(}\overrightarrow{r}\cdot \hat{i}-vt\mathrm{)}$.
Pero, en el espacio tridimensional, las ondas planas pueden propagarse en cualquier dirección del espacio. ¿Cuál es su ecuación general?
Sea una onda plana que se propaga en la dirección del vector unitario ${\widehat{\boldsymbol{u}}}_{\boldsymbol{k}}$. En un plano perpendicular a la dirección de propagación y a una distancia a del origen de coordenadas, la función de onda será $u\left(\overrightarrow{r},t\right)=f(a-vt)$. Si $\overrightarrow{r}$ es el vector posición de un punto cualquiera del frente de ondas, entonces:
$$ a\ =\ \overrightarrow{r}\cdot {\hat{u}}_k $$
Figura 7.14.
- Ecuación de los frentes de ondas: $a=\overrightarrow{r}\cdot {\hat{u}}_k=\mathrm{cte}$.
- Función de onda: $u\mathrm{(}\overrightarrow{r},t\mathrm{)}=f\mathrm{(}\overrightarrow{r}\cdot {\hat{u}}_k-vt\mathrm{)}$.
- Si la onda plana es armónica:
$$ \begin{array}{l}
\boxed{u\mathrm{(}\overrightarrow{r},t\mathrm{)}\ \mathrm{\ }=u_0\mathrm{sen(}\omega t-ka+\phi \mathrm{)\ }=u_0\mathrm{sen(}\omega t-k\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{u}}_k+\phi \mathrm{)}=u_0\mathrm{sen(}\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}+\phi \mathrm{)}} \\
\mathrm{donde}\ \ \ \overrightarrow{k}=\ \ k{\hat{u}}_k\ \ \mathrm{se\ denomina\ }\boldsymbol{\mathrm{v}}\boldsymbol{\mathrm{ector}}\boldsymbol{\mathrm{\ }}\boldsymbol{\mathrm{de}}\boldsymbol{\mathrm{\ }}\boldsymbol{\mathrm{onda}}. \end{array} $$
En las ondas esféricas emitidas por una fuente puntual, la perturbación depende solamente de la distancia al punto fuente ($r$) si el medio es homogéneo e isótropo.
- La solución de ecuación diferencial de onda en ondas esféricas es de la forma:
$$ u\mathrm{(}r,t\mathrm{)}=\frac{f\mathrm{(}r-vt\mathrm{)}}{r}+\frac{g\mathrm{(}r+vt\mathrm{)}}{r} $$
- Las soluciones más sencillas de la ecuación son ondas esféricas “armónicas” que divergen de la fuente, de la forma:
$$ u\mathrm{(}r,t\mathrm{)}=\frac{C}{r}\mathrm{sen(}\omega t-kr+\phi \mathrm{)\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ con}\ C=\mathrm{cte} $$
- La “amplitud” disminuye proporcionalmente a $r$, pero en el medio no hay absorción ni disipación de energía. Este fenómeno se denomina atenuación: cuanto más lejos esté el punto del foco central, más débil será la perturbación.
A grandes distancias del foco emisor, el frente de ondas es aproximadamente plano.
El sonido: son ondas mecánicas longitudinales que se propagan por un medio a causa de que un cuerpo vibrante, denominado foco, provoca una perturbación en la posición de los elementos del mismo.
El desplazamiento de los elementos del medio produce zonas con mayor presión y densidad, y otras con menor. Por tanto, el sonido consiste en tres tipos de ondas relacionadas entre sí:
- Onda de desplazamiento (deformación).
- Onda de presión.
- Onda de densidad.
Figura 7.15.
